Принцип суперпозиции электростатических полей. Поле диполя

К кулоновским силам применим рассмотренный в механике принцип независимости действия сил – (1). F = Q ₀ E и F _i = Q ₀ Е _i. Подставляя выражения в (1), получаем (2). Формула (2) выражает принцип суперпозиции электростатических полей, согласно которому напряженность Е результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.

(1) (2) (3) (4)

Принцип суперпозиции применим для расчета электростатического поля электрического диполя. Электрический диполь – система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов, расстояние между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. Вектор (3) называется электрическим моментом диполя. Согласно принципу суперпозиции, напряженность Е поля диполя в произвольной точке – (4).

 

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

Поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд Q, находящийся в ее центре, равен (1). Для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд Q, поток вектора Е будет равен Q/ e₀. Рассмотрим общий случай. В соответствии с принципом суперпозиции – (3). Каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен Q_i / e₀, следовательно, (4).

(1) (3) (4)

Формула (4) выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e₀.

 

Применение теоремы Гаусса для расчета электростатического поля заряженной сферы

Сферическая поверхность заряжена равномерно с поверхностной плотностью +s. Благодаря равномерному распределению заряда поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией. Поэтому линии напряженности направлены радиально. Построим мысленно сферу радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если r>R, то внутрь поверхности попадает весь заряд Q, создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса, , откуда (1).

(1)

Применение теоремы Гаусса для расчета электростатического поля заряженного шара

Шар радиуса R с общим зарядом Q заряжен равномерно собъемной плотностью r. Учитывая соображения симметрии, можно показать, что для напряженности поля вне шара получится тот же результат, что и в предыдущем случае с заряженной сферой. Внутри же шара напряженность поля будет другая. Поэтому, согласно теореме Гаусса, получаем (1).

(1)