Министерство образования саратовской области 5 страница

 

y

 

 

x

 

 

Рис.2

 

Для вычисления проекций сил сначала определяем знак проекции, а затем ее абсолютную величину. Проекция положительна, если угол между положительным направлением оси и силой меньше 90⁰ (сила и ось направлены в одну сторону); в противном случае проекция отрицательна. Чтобы получить величину проекции, надо умножить величину силы на косинус угла между силой и ее проекцией (т.е. всегда берется косинус острого угла).

Проекция равнодействующей силы:

 

 

ее величина

 

2.Графический метод.

Выберем масштаб сил: m = 10кН/см, тогда силы F₁, F₂, F₃ будут откладываться отрезками:

 

 

Рис.3

 

R = см

R = · m = ·10 = кН.

Задача №2.

Определить усилия в стержнях АС и АВ, возникающие от силы F, приложенной к узлу А, аналитическим и графическим методами (рис.4).

 

Дано: F = 30 кН.

A F

90^o

 

B 90^o 40^o C

 

Рис.4

 

Определить: усилия N_АВ и N_АС.

Решение:

A F A F

90^o

12 50⁰ N₂

B 90^o 40^o C N₁

 

Рис.5 Рис.6

1. Строим схему, соблюдая все заданные углы (без соблюдения масштаба сил, рис.5). Рассматриваем равновесие точки А, в которой сходятся все стержни и внешние силы.

2. Отбрасываем связи АВ и АС, заменяя их усилиями в стержнях N₁ и N₂. Направление усилий примем от узла А, предполагая стержни растянутыми. Выполним на отдельном чертеже схему действия сил в точке А (рис.6).

3. Выберем систему координат таким образом, чтобы одна из осей совпала с неизвестным усилием. Составляем уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил:

 

(1)

(2)

 

Из уравнения () находим усилие :

 

Найденное значение подставляем в уравнение () и находим из него значение :

Окончательно получаем:

N₁ =

N₂ =

II. Графический метод.

1. Так как узел А находится в равновесии, то многоугольник из заданной и двух искомых сил должен быть замкнутым. Выбираем масштаб сил m = 10кН/см, тогда сила F будут откладываться отрезком:

Из произвольной т.О откладываем отрезок, соответствующий величине и направлению силы

Силы N₁ и N₂ неизвестны, но известны их направления. Поэтому, зная, что силовой многоугольник должен быть замкнут (условие равновесия сходящихся сил), из начала отрезка F проводим прямую, параллельную вектору , а из конца отрезка F проводим прямую, параллельную вектору . Точка их пересечения является вершиной силового многоугольника (рис 7). Стрелки у искомых векторов ставим так, чтобы они шли в одном направлении со стрелками заданных векторов. Получим замкнутый силовой многоугольник.

 

 

Рис.7

N₁ = см; N₂ = см.

Измерив отрезки и, умножая их на масштаб, получим:

N₁= · 10 = кН;

N₂ = · 10 = кН.

Остается выяснить, растянуты или сжаты стержни N₁ и N₂. Для этого нужно сравнить их направление в многоугольнике сил с направлениями, что мы предположили в начале. Если направления совпадают, то стержень растянут, если направления не совпадают, то стержень сжат.

Окончательно получим:

N₁ = кН,

N₂ = кН.

Ответ:

Аналитическое решение: N₁= кН

N₂ = кН.

Графическое решение: N₁= кН

N₂ = кН.

 

ВАРИАНТ №18

Задача №1.

Определить равнодействующую сходящихся сил аналитическим и графическим методами (рис 1).

 

 

y F₁ Дано:

F₁ = 40 кН, F₂ = 20 кН,

F₃ = 40 кН, α₁ = 35 ^о,

α₁ F₂ x α₂ = 45 ^о.

α₂ Определить: R.

F₃

Рис.1

 

Решение.

1. Аналитический метод.

 

Сначала надо определить проекции заданных сил на оси координат, после чего легко найти проекцию равнодействующей силы на эти оси.

 

Величину равнодействующей найдем по формуле

 

Строим схему с соблюдением заданных углов α₁ и α₂ (без соблюдения масштаба сил, рис 2).

 

y

 

 

x

 

 

Рис.2

 

Для вычисления проекций сил сначала определяем знак проекции, а затем ее абсолютную величину. Проекция положительна, если угол между положительным направлением оси и силой меньше 90⁰ (сила и ось направлены в одну сторону); в противном случае проекция отрицательна. Чтобы получить величину проекции, надо умножить величину силы на косинус угла между силой и ее проекцией (т.е. всегда берется косинус острого угла).

Проекция равнодействующей силы:

 

 

ее величина

 

2.Графический метод.

Выберем масштаб сил: m = 10кН/см, тогда силы F₁, F₂, F₃ будут откладываться отрезками:

 

 

Рис.3

 

R = см

R = · m = ·10 = кН.

Задача №2.

Определить усилия в стержнях АС и АВ, возникающие от силы F, приложенной к узлу А, аналитическим и графическим методами (рис.4).

 

Дано: F = 40 кН.

A F

90^o

 

B 90^o 40^o C

 

Рис.4

 

Определить: усилия N_АВ и N_АС.

Решение:

A F A F

90^o

12 50⁰N₂

B 90^o 40^o C N₁

Рис.5 Рис.6

1. Строим схему, соблюдая все заданные углы (без соблюдения масштаба сил, рис.5). Рассматриваем равновесие точки А, в которой сходятся все стержни и внешние силы.

2. Отбрасываем связи АВ и АС, заменяя их усилиями в стержнях N₁ и N₂. Направление усилий примем от узла А, предполагая стержни растянутыми. Выполним на отдельном чертеже схему действия сил в точке А (рис.6).

3. Выберем систему координат таким образом, чтобы одна из осей совпала с неизвестным усилием. Составляем уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил:

 

(1)

(2)

 

Из уравнения () находим усилие :

 

Найденное значение подставляем в уравнение () и находим из него значение :

Окончательно получаем:

N₁ =

N₂ =

II. Графический метод.

1. Так как узел А находится в равновесии, то многоугольник из заданной и двух искомых сил должен быть замкнутым. Выбираем масштаб сил m = 10кН/см, тогда сила F будут откладываться отрезком:

Из произвольной т.О откладываем отрезок, соответствующий величине и направлению силы

Силы N₁ и N₂ неизвестны, но известны их направления. Поэтому, зная, что силовой многоугольник должен быть замкнут (условие равновесия сходящихся сил), из начала отрезка F проводим прямую, параллельную вектору , а из конца отрезка F проводим прямую, параллельную вектору . Точка их пересечения является вершиной силового многоугольника (рис 7). Стрелки у искомых векторов ставим так, чтобы они шли в одном направлении со стрелками заданных векторов. Получим замкнутый силовой многоугольник.

 

 

Рис.7

N₁= см; N₂ = см.

Измерив отрезки и, умножая их на масштаб, получим:

N₁= · 10 = кН;

N₂ = · 10 = кН.

Остается выяснить, растянуты или сжаты стержни N₁ и N₂. Для этого нужно сравнить их направление в многоугольнике сил с направлениями, что мы предположили в начале. Если направления совпадают, то стержень растянут, если направления не совпадают, то стержень сжат.

Окончательно получим:

N₁ = кН,

N₂ = кН.

Ответ:

Аналитическое решение: N₁ = кН

N₂ = кН.

Графическое решение: N₁ = кН

N₂ = кН.

 

ВАРИАНТ №19

Задача №1.

Определить равнодействующую сходящихся сил аналитическим и графическим методами (рис 1).

 

 

y F₁ Дано:

F₁ = 80 кН, F₂ = 90 кН,

F₃ = 100 кН, α₁ = 72 ^о,

α₁ F₂ x α₂ = 83^о.

α₂ Определить: R.

F₃

Рис.1

 

Решение.

1. Аналитический метод.

 

Сначала надо определить проекции заданных сил на оси координат, после чего легко найти проекцию равнодействующей силы на эти оси.

 

Величину равнодействующей найдем по формуле

 

Строим схему с соблюдением заданных углов α₁ и α₂ (без соблюдения масштаба сил, рис 2).

 

y

 

 

x

 

 

Рис.2

 

Для вычисления проекций сил сначала определяем знак проекции, а затем ее абсолютную величину. Проекция положительна, если угол между положительным направлением оси и силой меньше 90⁰ (сила и ось направлены в одну сторону); в противном случае проекция отрицательна. Чтобы получить величину проекции, надо умножить величину силы на косинус угла между силой и ее проекцией (т.е. всегда берется косинус острого угла).

Проекция равнодействующей силы:

 

 

ее величина

 

2.Графический метод.

Выберем масштаб сил: m = 10кН/см, тогда силы F₁, F₂, F₃ будут откладываться отрезками:

 

 

Рис.3

 

R = см

R = · m = ·10 = кН.

Задача №2.

Определить усилия в стержнях АС и АВ, возникающие от силы F, приложенной к узлу А, аналитическим и графическим методами (рис.4).

Дано: F = 25кН.

F

 

А 90^о

В

45^оС

Рис.4

Определить: усилия N_АВ и N_АС.

Решение:

F F

B 1 А 90^о N₁ 45⁰ 90^о

2 А

45^о С N₂

Рис.5 Рис.6

1. Строим схему, соблюдая все заданные углы (без соблюдения масштаба сил, рис.5). Рассматриваем равновесие точки А, в которой сходятся все стержни и внешние силы.

2. Отбрасываем связи АВ и АС, заменяя их усилиями в стержнях N₁ и N₂. Направление усилий примем от узла А, предполагая стержни растянутыми. Выполним на отдельном чертеже схему действия сил в точке А (рис.6).

3. Выберем систему координат таким образом, чтобы одна из осей совпала с неизвестным усилием. Составляем уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил:

 

(1)

(2)

 

Из уравнения () находим усилие :

 

Найденное значение подставляем в уравнение () и находим из него значение :

Окончательно получаем:

N₁ =

N₂ =

II. Графический метод.

1. Так как узел А находится в равновесии, то многоугольник из заданной и двух искомых сил должен быть замкнутым. Выбираем масштаб сил m = 10кН/см, тогда сила F будут откладываться отрезком:

Из произвольной т.О откладываем отрезок, соответствующий величине и направлению силы

Силы N₁ и N₂ неизвестны, но известны их направления. Поэтому, зная, что силовой многоугольник должен быть замкнут (условие равновесия сходящихся сил), из начала отрезка F проводим прямую, параллельную вектору , а из конца отрезка F проводим прямую, параллельную вектору . Точка их пересечения является вершиной силового многоугольника (рис 7). Стрелки у искомых векторов ставим так, чтобы они шли в одном направлении со стрелками заданных векторов. Получим замкнутый силовой многоугольник.

 

 

Рис.7

N₁ = см; N₂ = см.

Измерив отрезки и, умножая их на масштаб, получим:

N₁= · 10 = кН;

N₂ = · 10 = кН.

Остается выяснить, растянуты или сжаты стержни N₁ и N₂. Для этого нужно сравнить их направление в многоугольнике сил с направлениями, что мы предположили в начале. Если направления совпадают, то стержень растянут, если направления не совпадают, то стержень сжат.

Окончательно получим:

N₁ = кН,

N₂ = кН.

Ответ:

Аналитическое решение: N₁ = кН

N₂ = кН.

Графическое решение: N₁= кН

N₂= кН.

 

ВАРИАНТ №20

Задача №1.

Определить равнодействующую сходящихся сил аналитическим и графическим методами (рис 1).

 

 

y F₁ Дано:

F₁ = 100 кН, F₂ = 80 кН,

F₃ = 90 кН, α₁ = 83 ^о,

α₁ F₂ x α₂ = 72^о.

α₂ Определить: R.

F₃

Рис.1

 

Решение.

1. Аналитический метод.

 

Сначала надо определить проекции заданных сил на оси координат, после чего легко найти проекцию равнодействующей силы на эти оси.

 

Величину равнодействующей найдем по формуле

 

Строим схему с соблюдением заданных углов α₁ и α₂ (без соблюдения масштаба сил, рис 2).

 

y

 

 

x

 

 

Рис.2

 

Для вычисления проекций сил сначала определяем знак проекции, а затем ее абсолютную величину. Проекция положительна, если угол между положительным направлением оси и силой меньше 90⁰ (сила и ось направлены в одну сторону); в противном случае проекция отрицательна. Чтобы получить величину проекции, надо умножить величину силы на косинус угла между силой и ее проекцией (т.е. всегда берется косинус острого угла).

Проекция равнодействующей силы:

 

 

ее величина

 

2.Графический метод.

Выберем масштаб сил: m = 10кН/см, тогда силы F₁, F₂, F₃ будут откладываться отрезками:

 

 

Рис.3

 

R = см

R = · m = ·10 = кН.

Задача №2.

Определить усилия в стержнях АС и АВ, возникающие от силы F, приложенной к узлу А, аналитическим и графическим методами (рис.4).

Дано: F = 30кН.

F

 

А 90^о

В

45^оС

Рис.4

 

Определить: усилия N_АВ и N_АС.

Решение:

F F

 

B 1 А 90^о N₁ А 90^о

45^о С N₂

Рис.5 Рис.6

1. Строим схему, соблюдая все заданные углы (без соблюдения масштаба сил, рис.5). Рассматриваем равновесие точки А, в которой сходятся все стержни и внешние силы.

2. Отбрасываем связи АВ и АС, заменяя их усилиями в стержнях N₁ и N₂. Направление усилий примем от узла А, предполагая стержни растянутыми. Выполним на отдельном чертеже схему действия сил в точке А (рис.6).

3. Выберем систему координат таким образом, чтобы одна из осей совпала с неизвестным усилием. Составляем уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил:

 

(1)

(2)

 

Из уравнения () находим усилие :

 

Найденное значение подставляем в уравнение () и находим из него значение :

Окончательно получаем:

N₁ =

N₂ =

II. Графический метод.

1. Так как узел А находится в равновесии, то многоугольник из заданной и двух искомых сил должен быть замкнутым. Выбираем масштаб сил m = 10кН/см, тогда сила F будут откладываться отрезком:

Из произвольной т.О откладываем отрезок, соответствующий величине и направлению силы

Силы N₁ и N₂ неизвестны, но известны их направления. Поэтому, зная, что силовой многоугольник должен быть замкнут (условие равновесия сходящихся сил), из начала отрезка F проводим прямую, параллельную вектору , а из конца отрезка F проводим прямую, параллельную вектору . Точка их пересечения является вершиной силового многоугольника (рис 7). Стрелки у искомых векторов ставим так, чтобы они шли в одном направлении со стрелками заданных векторов. Получим замкнутый силовой многоугольник.

 

 

Рис.7

N₁= см; N₂ = см.

Измерив отрезки и, умножая их на масштаб, получим:

N₁= · 10 = кН;

N₂ = · 10 = кН.

Остается выяснить, растянуты или сжаты стержни N₁ и N₂. Для этого нужно сравнить их направление в многоугольнике сил с направлениями, что мы предположили в начале. Если направления совпадают, то стержень растянут, если направления не совпадают, то стержень сжат.

Окончательно получим:

N₁ = кН,

N₂ = кН.

Ответ:

Аналитическое решение: N₁= кН

N₂ = кН.

Графическое решение: N₁ = кН

N₂ = кН.

 

ВАРИАНТ №21

Задача №1.

Определить равнодействующую сходящихся сил аналитическим и графическим методами (рис 1).

 

 

y F₁ Дано:

F₁ = 90 кН, F₂ = 100 кН,

F₃ = 80 кН, α₁ = 80 ^о,

α₁ F₂ x α₂ = 60 ^о.

α₂ Определить: R.

F₃

Рис.1

 

Решение.

1. Аналитический метод.

 

Сначала надо определить проекции заданных сил на оси координат, после чего легко найти проекцию равнодействующей силы на эти оси.

 

Величину равнодействующей найдем по формуле

 

Строим схему с соблюдением заданных углов α₁ и α₂ (без соблюдения масштаба сил, рис 2).

 

y

 

 

x

 

 

Рис.2

 

Для вычисления проекций сил сначала определяем знак проекции, а затем ее абсолютную величину. Проекция положительна, если угол между положительным направлением оси и силой меньше 90⁰ (сила и ось направлены в одну сторону); в противном случае проекция отрицательна. Чтобы получить величину проекции, надо умножить величину силы на косинус угла между силой и ее проекцией (т.е. всегда берется косинус острого угла).

Проекция равнодействующей силы:

 

 

ее величина

 

2.Графический метод.

Выберем масштаб сил: m = 10кН/см, тогда силы F₁, F₂, F₃ будут откладываться отрезками:

 

 

Рис.3

 

R = см

R = · m = ·10 = кН.

Задача №2.