Основные определения и формулы

ПП 9. Предел Функции

 

О.1. Определение предела по Гейне (на языке последовательностей). Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности такой, что , выполняется равенство , которое обозначают: .

О.2. Определение предела по Коши (на языке - ). Число называется пределом функции в точке , если .

 

Понятие	Обозначение	Определение
Предел функции в точке
- бесконечно большая функция в точке
Предел функции при
- бесконечно большая функция при
Односторон-ние пределы справа и слева
- бесконечно большая функция справа и слева от точки

 

Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства

Функция называется бесконечно малой в точке , если .

Функция называется бесконечно большой в точке , если . Записывается это как .

Свойства:

. Если , то .

. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть функция бесконечно малая.

. Произведение бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

. Если , то

.Если - бесконечно малая функция при и при , то - бесконечно большая функция при . Если - бесконечно большая, то - бесконечно малая.

6˚. Произведение бесконечно большой функции на ограниченную функцию, не равную нулю, есть функция бесконечно большая.

7˚. Произведение бесконечно больших функций есть функция бесконечно большая.

 

 

Свойства функций, имеющих предел

 

	где
где

Если и , то

где .

Если функции и имеют одну область определения и , то

Теорема о пределе промежуточной функции.

Если 1) , 2) ,

то .

 

Замечательные пределы

Первый замечательный предел : .

Второй замечательный предел : ; .

 

 

 

Сравнение бесконечно малых функций

 

Для бесконечно малых выполняется:

1) a ₁(x) и a ₂(x) одного порядка, если , A < ¥;

2) a ₁(x) ~ a ₂(x) - эквивалентные, если ;

3) a ₁(x) = о (a ₂(x)) - a ₁(x) бесконечно малая более высокого порядка малости по сравнению с a ₂(x), если ;

4) если a ₁(x) ~ a ₂(x), a ₃(x) ~ a ₄(x), то

Эквивалентные бесконечно малые при x ® 0:

~ , ~ , ~ , ~ ,

~ .

Ряд эквивалентных бесконечно малых при x ® 0:

x ~ sin x ~ arcsin x ~ tg x ~ arctg x ~ ~ e ^x – 1 ~ ln(1 + x).

Некоторые пределы:

 

пп 9. Теоретические Упражнения
ТУ ПП 9. №1.	Докажите, что предел не существует. РЕШЕНИЕ: В определении Гейне предполагается, что { xn } – любая последовательность значений аргумента. Выберем две разных бесконечно больших последовательности: xn = p n и x¢n = p/2 + 2p n, где n Î N, для которых и Поскольку а , то не существует.
ТУ ПП 9. №2.	Всегда ли сумма бесконечно больших функций является бесконечно большой функцией? РЕШЕНИЕ: Пусть , - бесконечно большие при . 1) Если , , то не является бесконечно большой функцией. 2) Если , , то является бесконечно большой функцией.	нет

 

 

ТУ ПП 9. №3.

Бесконечно большая при функция, является неограниченной в окрестности точки . Выполняется ли обратное утверждение? РЕШЕНИЕ: Не всякая неограниченная функция является бесконечно большой. Рассмотрим две неограниченных функции и . 1) - бесконечно большая при , так как для любого числа можно указать окрестность точки , в каждой точке которой 2) - является неограниченной при , но бесконечно большой не является, так как для любого числа в каждой окрестности точки можно указать точку, в которой , но в этой же окрестности найдутся точки, не удовлетворяющие этому условию, для которых, например, .

нет

 

ТУ ПП 9. №4.	Докажите, что если и при , то . РЕШЕНИЕ: , , .
ТУ ПП 9. №5.	Используя результат задачи 5.364, вычислить предел . РЕШЕНИЕ: Используя ряд эквивалентностей при , можно записать: , ; .
ТУ ПП 9. №6.	С помощью определения предела функции на языке последовательностей докажите второй замечательный предел . Покажите, что функция y = (1 + 1/ x) x при x ® ¥ имеет предел, равный числу e. РЕШЕНИЕ: Пусть x ® +¥. Тогда можно применить определение Гейне и рассмотреть последовательность xn = n: Пусть x ® -¥. Тогда сделаем замену переменной t = -(x + 1) и, выражая x = -(t + 1), установим, что из x ® -¥ следует t ® +¥.
ТУ ПП 9. №7.	Докажите соотношение: . РЕШЕНИЕ: .
ТУ ПП 9. №8.	Докажите соотношение: . РЕШЕНИЕ: Заменим переменную: (см. предыдущее упр.) .
ТУ ПП 9. №9.	Докажите соотношение: . РЕШЕНИЕ: Используем формулу бинома Ньютона для нецелого показателя степени . .
ТУ ПП 9. №10.	Докажите соотношение:. РЕШЕНИЕ: .
ТУ ПП 9. №11.	Определите порядок малости относительно при . РЕШЕНИЕ: , , откуда , т.е., порядок малости относительно при равен .
ТУ ПП 9. №12.	Докажите, что имеет второй порядок малости относительно при , если , . РЕШЕНИЕ: , , при .

 

 

пп 9. 2. ПреДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
ТУ ПП 9. №13.	Докажите, что (найдите ). РЕШЕНИЕ: По определению предела функции: . 1). Возьмем произвольное 2). Положим 3). Возьмем . Тогда если то , что и требовалось доказать.
ТУ ПП 9. №13.	Пользуясь определением предела функции Коши, докажите (найдите ), что РЕШЕНИЕ: Поскольку по определению Коши из неравенства | x - 1| < d следует | f (x) – (-5)| < e, решим неравенство |(3 x – 8) + 5| < e: |3 x – 8 + 5| = |3 x - 3| = 3| x - 1| < e, | x - 1| < e /3. Возьмем d (e) = e /3, тогда | x - 1| < d = e /3 Þ Þ |(3x – 8) – (-5)| < e, что и означает, что	d = e /3

 

 

п/п

Задание

Ответ

ПП 9. №1.	Вычислите предел РЕШЕНИЕ: Значение функции определено в точке x = 2. Вычислим значение функции
ПП 9. №2.	Вычислите предел . РЕШЕНИЕ:
ПП 9. №3.	Вычислите предел РЕШЕНИЕ: Как и для последовательностей, применим метод деления числителя и знаменателя на наивысшую степень x, т.е. на x 3:

 

 

 

ПП 9. №4.

Вычислите предел . РЕШЕНИЕ: = Так как число 3 является корнем числителя и знаменателя, поделим числитель и знаменатель на найдем корни квадратных трехчленов

 

 

ПП 9. №5.	Вычислите предел . РЕШЕНИЕ: Пусть . Тогда .
ПП 9. №6.	Вычислите предел РЕШЕНИЕ: Домножим числитель и знаменатель на выражение , сопряженное числителю, и учтем, что (a – b)×(a + b) = a 2 – b 2, тогда: .
ПП 9. №7.	Вычислите предел РЕШЕНИЕ: Домножим и поделим на сопряженную величину:

 

 

ПП 9. №8.	Вычислите предел РЕШЕНИЕ: Домножим числитель и знаменатель на величину, сопряженную числителю:
ПП 9. №9.	Вычислите предел РЕШЕНИЕ:
ПП 9. №10.	Вычислите предел . Применим первый замечательный предел:
ПП 9. №11.	Вычислите предел РЕШЕНИЕ:
ПП 9. №12.	Вычислите предел . РЕШЕНИЕ:
ПП 9. №13.	Вычислите предел . РЕШЕНИЕ:
ПП 9. №14.	Вычислите предел РЕШЕНИЕ:

 

 

ПП 9. №15.	Вычислите предел РЕШЕНИЕ:
ПП 9. №16.	Вычислите предел . РЕШЕНИЕ: Применим второй замечательный предел:
ПП 9. №17.	Вычислите предел РЕШЕНИЕ: .

 

 

ПП 9. №18.	Вычислите предел . РЕШЕНИЕ:
ПП 9. №19.	Вычислите предел РЕШЕНИЕ: .

 

 

ПП 9. №20.	Вычислите предел РЕШЕНИЕ: Выясним тип неопределенности. Так как , а , степенно-показательная функция порождает неопределенность (1¥). Для того, чтобы применить второй замечательный предел, преобразуем основание к виду , тогда
ПП 9. №21.	Вычислите предел РЕШЕНИЕ: При x ® 0 sin x ~ x.	е
ПП 9. №22.	Вычислите предел РЕШЕНИЕ: При x ® 0 sin x ~ x, sin4 x ~ 4 x.

 

 

ПП 9. №23.

Вычислите предел РЕШЕНИЕ: Поскольку x ® 1, сделаем замену переменной t = x – 1, t ® 0 и x = t + 1, тогда cospx = cosp (t + 1) = cos (pt + p) = - cospt, tg2px = tg2p (t + 1) = tg2 (pt + p) = tg2pt.