Бесконечно большая потенциальная бесконечность

На основании идей высказанных Аристотелем и развитых Дж. Локком построение и исследование бесконечности как таковой осуществляется нашим мышлением через источники конечных понятий, и значения этих понятий распространяются нами на область недоступную нашему мышлению ¾ на область бесконечного. Построение бесконечности производится, прежде всего, по отношению к ее протяженности, с которой связано представление о числе, пространстве, времени, предмете. Так, к одному числу, метру, секунде, предмету мы прибавляем еще одно число, один метр, одну секунду, один предмет, причем их последовательный синтез никогда не может быть закончен. Этот способ построения бесконечности называется абстракцией потенциальной осуществимости, а сама бесконечность потенциальной бесконечностью (ПБ). Абстракция потенциальной осуществимости предполагает:

- дискретность процессов построения объектов, т. е. то, что процессы разложили на отдельные чётко отличимые друг от друга шаги;

- наличие правил, методов, процедур, операций, по которым производится построение объектов на каждом шагу и осуществляется переход к следующему шагу построения;

- независимость процесса построения от материальных условий его осуществления в рамках осуществимости сколь угодно большого, но всё же конечного числа шагов этого процесса. Построение является бесконечным, не имеющим заключительного шага[52].

Согласно первому пункту потенциальная осуществимость означает неограниченную количественную изменчивость объектов, и представляет собой количественное понятие.

Второй пункт противоречив. Недаром эту бесконечность Б. Спиноза называл мнимой. По закону созерцательного познания множество как целое образуется из его частей. При таком бесконечном восхождении от одного шага к другому нет предела, и на самом деле невозможен ни полный анализ, ни полный синтез этих шагов. Потенциальная бесконечность есть прерывная бесконечность, т. к. составляется из конечных, дискретных величин, причём их количество непрерывно изменяется, и о котором можно сказать, что оно перейдёт все пределы, но нельзя сказать, что оно перешло. Кантор назвал её неопределённой переменной величиной, которая может принимать бесконечно много значений. Следовательно, совершенно немыслимо по законам наблюдения завершить этот процесс в определённое время и получить потенциальную бесконечность. Бесконечное становление объектов совершенно не означает, что мы построили бесконечное количество объектов! Бесконечное становление чисел или объектов есть непрерывно-дискретный переход из одного определённого состояния в другое. Такой переход даёт кажущееся разрешение завершённости бесконечного. На самом же деле это не достижение бесконечности как таковой, а её непрерывно-дискретное порождение. Третий пункт целиком противоречив. Как понять «независимость построения от материальных условий»? Кто осуществляет процесс построения? Если это умственный процесс человека, то построение осуществляется в пространстве мышления считающего субъекта. Сам же субъект зависит от материальных условий своего существования.

Согласно абстракции потенциальной осуществимости в построении числовой бесконечности следует различать два понятия: идею бесконечности чисел или объектов и идею бесконечного числа или бесконечного объекта. Первое понятие очевидное ¾ оно касается построения чисел или объектов. Построение чисел, начинаясь с единицы, увеличивается до бесконечности, тем не менее, какое бы число мы не взяли ¾ оно оказывается конечным. Деление какой-либо величины уходит своими корнями в бесконечность. Но всякая разделяемая величина ограничена и полученное число частей целого конечно. Второе понятие ¾ идея бесконечного числа есть фикция. Даже если мы произведём мысленно полный синтез этих шагов, потенциальная бесконечность начинается с конечной величины с первого члена бесконечного ряда. Бесконечность же в пространстве состоит в том, что нет никакого начала, ни конца в любом пространственном направлении. Исследуя свойства потенциальной бесконечности, Гегель говорит: «Бесконечность бесконечного прогресса остаётся обременённой конечным, как таковым, ограничена им и сама конечна»[23, с. 137]. Эту бесконечность великий философ назвал дурной количественной бесконечностью [23, с. 239].

Потенциальную бесконечность можно сравнить с пассажирами метро в часы пик. На каждую станцию непрерывно втекает поток пассажиров и непрерывно вытекает. Сколько пассажиров в данный момент на данной станции метро неизвестно, так как их невозможно сосчитать. Сосчитать их как таковых всех вместе возможно только в том случае, если перекрыть станцию, остановить эскалаторы и самих пассажиров. Аналогично происходит и с числовым рядом. Типичным примером бесконечно больших чисел являются так называемые большие числа. Большое число 10⁴⁰ является потенциальной бесконечностью по отношению к числу 1.

Рене Декарт признавал бесконечным только Бога и считал полной нелепицей постичь бесконечное при помощи конечных величин или мышления. Все остальные типы бесконечностей, выражаемые при помощи больших или малых величин, всему тому, чему мы не находим границ, он полагал считать неопределёнными. «Всё это мы скорее назовём неопределённым, а не бесконечным или беспредельным, чтобы название «бесконечный» сохранить для одного Бога, столь же потому, что в нём одном мы не видим никаких пределов его совершенствам, сколь и потому, что знаем твёрдо, что их не может быть»[53, c. 438]. О понятии бесконечности Даламбер пишет: «Бесконечность, рассматриваемая в анализе, есть собственно предел конечного, т. е. граница, к которой всегда стремится конечное, никогда к ней не приходя, но о которой можно предположить, что конечное приближается к ней все ближе и ближе, хотя и никогда не достигает»[54, c. 232]. Понятия неопределённого Декарта и предел конечного Даламбера можно целиком и полностью отнести к понятию потенциальной бесконечности. В примечании к тезису первой космологической антиномии И. Кант отвергает завершённость потенциальной бесконечности: «Согласно обыденному понятию бесконечна та величина, больше которой… невозможна никакая другая величина. Но никакое множество не может быть большим, так как ко всякому множеству можно прибавить ещё одну или несколько единиц»[55, с. 270].

Бесконечная последовательность натуральных чисел бесконечна, так как за числом n следует число n +1. Если бы всё человечество начало считать каждую секунду числа на протяжении 5000 лет, то оно с трудом бы добралось до числа 10²⁰. Натуральный ряд чисел по своей сути несчётен! Вот эту несчётность, из-за конечного времени существования человечества, очень часто путают с понятием бесконечности, хотя на самом деле это совершенно разные понятия. Поэтому потенциальная бесконечность не есть бесконечность по объектам и числам как таковым, а конечная бесконечность. Потенциальная бесконечность начинается с конечной величины, заканчивается конечными величинами и числами и состоит только из одних конечных величин и чисел. Недаром Вейерштрасс называл этот тип ограниченным бесконечным, а Гегель конечным бесконечным и её следует отнести к финитной бесконечности и обозначить:

ПБ = _f¥_f (1.1)