Розривні функції. Види розривів

Означення неперервності функцій

 

Нехай функція визначена в точці і деякому околі, що містить точку . Знайдемо значення функції в точці , яке позначимо Далі, надамо значенню приріст , тобто знайдемо нове значення , де приріст може бути як додатним (тоді лежить правіше ), так і від’ємним (тоді знаходиться лівіше ). Тепер обчислимо нове значення функції і знайдемо різницю між і яку позначимо через , тобто (див. рис. 28), .

 

 

Рис. 28.

 

Означення 1. Функція називається неперервною в точці , якщо вона визначена в точці , а також в деякому околі цієї точки, і якщо н.м. приросту аргумента відповідає н.м. приріст функції , тобто

, (1)

або рівносильне цьому

(2)

Перетворимо рівність (2)

Оскільки , то , і крім того,

( стала!), то далі маємо

(3)

Отже, якщо функція неперервна в точці , то границя функції дорівнює значенню цієї функції в точці . Якщо ж врахувати, що , то рівність (3) запишеться

(4)

Рівність (4) означає, що для неперервної функції можна переходити до границі під знаком функції.

Довести, що функції є неперервними в довільній точці .

1. Нехай . Тоді для знаходимо

.

Звідки знаходимо

Із неперервна функція для

Аналогічно можна довести, що неперервними є функції натуральне).

2. Нехай .

Подібно попередньому для знаходимо ,

при .

3. Нехай .

Для маємо ,

див. формулу 8 таблиці»

еквівалентних із 3.12

, при .

 

4. Нехай

Для

» Див. формулу 7 із 3.12. таблиці .

еквівалентних н.м.

Отже, неперервна функція для . Враховуючи (4), можна сказати, що

це і було використано в 3.12 при доведенні формули (1).

Подібним чином можна довести неперервність решти основних елементарних функцій в довільній точці , де ці функціїї визначені.

Означення 2. Якщо функція неперервна в кожній точці деякого інтервалу , де , то кажуть, що функція неперервна на цьому інтервалі.

Якщо функція визначена в точці і при цьому , то говорять, що неперервна справа в точці . Якщо , то говорять, що неперервна зліва в точці .

Якщо функція неперервна на інтервалі і неперервна на кінцях цього інтервала, відповідно справа і зліва, то говорять, що функція неперервна на всьому відрізку .

Наведемо без доведення наступну теорему.

Теорема. Всяка елементарна функція неперервна в кожній точці, в якій вона визначена.

 

Розривні функції. Види розривів

 

Якщо в якійсь точці для функції не виконується хоча б одна із умов неперервності, тобто якщо в точці функція невизначена, або неіснує границя , або при довільному прямуванні , хоча вирази і існують, то при функція розривна. Точка називається точкою розриву функції.

Розрізняють такі три види розривів:

1) усувний розрив;

2) розрив І-го роду або скінченний розрив;

3) розрив ІІ-го роду або нескінченний розрив.

Якщо функція в деякому околі точки визначена і її односторонні границі збігаються, тобто

= ,

а в самій точці функція невизначена, то в цій точці має усувний розрив. Цей розрив можна усунути, приписавши функції значення, що збігається з односторонніми границями і взявши

= .

Наприклад, функція неперервна на всьому інтервалі від –¥ до +¥, крім точки . В точці функція розривна.

Розглянемо нову функцію , таку, що якщо

, а при покладемо

Побудована таким чином функція

 

є неперервною для (див. рис. 29), тобто розрив усунули.

 

Рис. 29.

 

Якщо односторонні границі функції скінченні при і , то функція в точці має розрив І-го роду або скінченний розрив.

Наприклад, функція при дорівнює при а при функція невизначена, тоді

отже має розрив І-го роду (див. рис. 30).

 

Рис. 30.

 

Стрибком функції називається величина

У точках неперервності стрибок , для розривів І-го роду він скінченний. Для розглянутого на рис. 30 графіка стрибок .

Якщо хоча б одна з односторонніх границь функції в точці є нескінченною або не існує, тоді функція в точці має розрив ІІ-го роду або нескінченний розрив.

Наприклад, в точці невизначена, , а , тобто односторонні границі нескінченні, тому тут розрив ІІ-го роду (див. рис.31).

 

Так само точка є точкою розриву ІІ-го роду для розглянутої раніше функції , бо не існує.