Пряма на площині. Основні рівняння. Площина та пряма в просторі

На площині можуть бути задані тільки двомірні, або плоскі перетворення.

Рівняння , що зв'язує дві змінні x і y називається рівнянням лінії L в обраній плоскій системі координат, якщо координати будь-якої точки цієї лінії L задовольняють рівнянню, а будь-які інші координати точок, що не належать лінії L, не задовольняють вказаному рівнянню.

За означенням, лінія — це є співвідношення, що зв'язує координати точок деякої області простору, і, причому тільки ці координати. Рівняння являє собою аналітичний запис рівняння будь-якої плоскої лінії.

.

Якщо замість підставити його чисельне значення, тоді отримаємо відоме рівняння прямої

.

Отже, рівняння прямої має вигляд:

.

За умовою задачі k заданий. Точка M (x ₀ , y ₀) повинна також належати шуканій прямій і, за означенням лінії, перетворювати рівняння прямої в тотожність. Скористаємося цим і підставимо значення x ₀ і y ₀ у рівняння, отримаємо:

.

В останньому рівнянні невідоме b. Елементарним перетворенням з останнього рівняння отримаємо

.

Знайдене b підставимо в рівняння й остаточно отримаємо:

.

Останнє рівняння є рівнянням прямої, що проходить через дану точку в заданому напрямку.

Невідомий k - кутовий коефіцієнт нахилу лінії стосовно додатного напрямку осі 0 X. Однак, знаючи загальний вид рівняння прямої () і з огляду на те, що обидві точки розташовані на шуканій лінії, можна скласти наступну систему:

,

де – координати точок M ₁ і M ₂ відповідно, (відомі), а k і b – шукані невідомі. Віднімаючи від першого рівняння друге, виразимо k,

.

Підставимо знайдене k у кожне з рівнянь і визначимо b

.

Підставимо знайдені k і b у рівняння прямої

.

Перетворимо останнє рівняння

і остаточно

.

Дане рівняння називається рівнянням прямої, що проходить через дві точки.

Означення. Рівнянням лінії називається співвідношення y = f(x) між координатами точок, які складають цю лінію.

Означення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + С = 0,

причому сталі А, В не рівні нулеві одночасно, тобто А² + В² ¹ 0. Це рівняння першого порядку називають загальним рівнянням прямої.

В залежності від значень сталих А,В і С можливі наступні частинні випадки:

- C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – пряма проходить через початок координат,

- А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0} - пряма паралельна осі Ох,

- В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – пряма паралельна осі Оу,

- В = С = 0, А ¹ 0 – пряма співпадає з віссю Оу,

- А = С = 0, В ¹ 0 – пряма співпадає з віссю Ох.

Означення. У декартовій прямокутній системі координат вектор з компонентами (А, В) перпендикулярний до прямої, заданої рівнянням Ах + Ву + С = 0.

Нехай у просторі задано дві точки M₁(x₁, y₁, z₁) і M₂(x_2, y₂, z₂), тоді рівняння прямої, яка проходить через ці точки:

.

Якщо який-небудь із знаменників дорівнює нулеві, необхідно прирівняти нулеві відповідний чисельник.

Якщо загальне рівняння прямої Ах + Ву + С = 0 привести до вигляду:

і позначити , то отримане рівняння називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k.

Означення. Кожен ненульовий вектор =(a₁, a₂), компоненти якого задовольняють умову Аa₁ + Вa₂ = 0 називається напрямним вектором прямої

Ах + Ву + С = 0.

Якщо у загальному рівнянні прямої Ах + Ву + С = 0, С ¹ 0, то, розділивши на – С, отримаємо: або

,

де

Геометричний зміст коефіцієнтів у тому, що коефіцієнт а є координатою точки перетину прямої з віссю Ох, а b – координатою точки перетину прямої з віссю Оу.

Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0 розділити на число , яке називається нормуючим множником, то отримаємо

xcosj + ysinj - p = 0 – нормальне рівняння прямої.

Знак ± нормуючого множника необхідно вибирати так, щоб m×С < 0.

р – довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму, а j - кут, утворений цим перпендикуляром з додатнім напрямом осі Ох.

Означення. Якщо задані дві прямі y = k₁x + b₁, y = k₂x + b₂, то гострий кут між цими прямими буде визначатися як

.

Дві прямі паралельні, якщо k₁ = k₂.

Дві прямі перпендикулярні, якщо k₁ = -1/k₂.

Теорема. Прямі Ах + Ву + С = 0 і А₁х + В₁у + С₁ = 0 паралельні, коли пропорціональні коефіцієнти А₁ = lА, В₁ = lВ. Якщо і С₁ = lС, то прямі співпадають.

Координати точки перетину двох прямих знаходяться як розв’язок системи двох рівнянь.

Означення. Пряма, яка проходить через точку М₁(х₁, у₁) і перпендикулярна до прямої у = kx + b представляється рівнянням:

.

Теорема. Якщо задана точка М(х₀, у₀), то відстань до прямої Ах + Ву + С =0 визначається так

.

 

Площина та пряма в просторі

Будь-яка поверхня є геометричним місцем точок, її складових, які визначаються рівнянням

.

Іншими словами, усі точки, що задовольняють цьому рівнянню, будуть належати поверхні.

Нехай у просторі XYZ задана площина a і до неї в точці K проведемо вектор нормалі . Оскільки площина a орієнтована довільно в просторі, то вектор буде утворювати з осями x, y, z кути a, b і g відповідно.

Виберемо на площині a точку M, що не збігається з K і сполучимо з цією точкою вектор . Очевидно, що , де r – модуль вектора , з рівняння отримаємо нормальне рівняння площини: .

Однак, якщо представимо вектор як , а вектор , тоді підставивши отримані вирази, отримаємо .

Знаючи, що для будь-якої точки, що належить площині, з координатами (A,B.C) можна обчислити напрямні косинуси

з врахуванням яких загальне рівняння прямої можна перетворити на

,

яке відомо, як рівняння площини.

Прямою лінією назвемо перетин двох площин у просторі. Визначення можна записати математично як .

Нехай площини a і b задані рівняннями:

і

,

де ; , ,

система з цих рівнянь:

Вказані рівняння називаються загальними рівняннями прямої в просторі, записаними у векторній формі.

Означення. Площиною називається поверхня, всі точки якої задовольняють загальне рівняння:

Ax + By + Cz + D = 0,

де А, В, С – координати вектора - вектор нормалі до площини.

Можливі наступні частинні випадки:

А = 0 – площина паралельна осі Ох,

В = 0 – площина паралельна осі Оу,

С = 0 – площина паралельна осі Оz,

D = 0 – площина проходить через початок координат,

А = В = 0 – площина паралельна площині хОу,

А = С = 0 – площина паралельна площині хОz,

В = С = 0 – площина паралельна площині yOz,

А = D = 0 – площина проходить через вісь Ох,

В = D = 0 – площина проходить через вісь Оу,

С = D = 0 – площина проходить через вісь Oz,

А = В = D = 0 – площина співпадає з площиною хОу,

А = С = D = 0 – площина співпадає з площиною xOz,

В = С = D = 0 – площина співпадає з площиною yOz.