IV. Математичний аналіз, теорія функцій та диференціальні рівняння.

І. Алгебра

1 Бінарні відношення. Відношення еквівалентності і розбиття на класи. Фактор-множина.
2 Група. Найпростіші властивості груп. Підгрупи. Гомоморфізми та ізоморфізми груп.
3 Кільце. Найпростіші властивості кільця. Підкільце. Гомоморфізми та ізоморфізми кілець.
4 Натуральні числа (аксіоми Пеано). Принцип математичної індукції, різні форми індукції.
5 Кільце цілих чисел. Подільність цілих чисел. Властивості подільності. Ділення з остачею.
6 Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне двох цілих чисел та зв’язок між ними.
7 Поле. Найпростіші властивості поля. Підполе. Числові поля. Поле дійсних чисел.
побудова поля комплексних чисел. Ізоморфні види поля комплексних чисел. Алгебрична форма комплексного числа.
8 Тригонометрична форма комплексного числа. Множення і ділення комплексних чисел, заданих в тригонометричній формі.
9 Лінійна залежність і незалежність системи векторів n-вимірного арифметичного векторного простору. Базис і ранг скінченної системи векторів.
10 Рівносильні лінійні системи і елементарні перетворення систем.
11 Критерій сумісності системи лінійних рівнянь. Існування ненульових розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь.
12 Розв’язання і дослідження системи лінійних рівнянь методом послідовного виключення невідомих (метод Гаусса).
13 Векторні простори, підпростори. Базис і розмірність векторного простору.
14 Ізоморфізм векторних просторів.
15 Прості числа. Нескінченість множини простих чисел. Канонічний розклад складеного числа і його єдиність.
16 Основні властивості конгруенцій в кільці цілих чисел.
17 Повна і зведена система лишків та їх властивості. Теореми Ейлера і Ферма.
18 Многочлени від n змінних над даним полем. Симетричні многочлени.
19 Лінійні конгруенції з одним невідомим.
20 Арифметичні застосування теорії конгруенцій.
21 Многочлени над полем. Теорема про ділення з остачею. Найбільший спільний дільник двох многочленів від однієї змінної та алгоритм Евкліда.
22 Звідні і незвідні многочлени над даним полем. Розклад многочлена в добуток незвідних у даному полі многочленів.
23 Алгебрична замкнутість поля комплексних чисел. Канонічний розклад многочлена над полем комплексних чисел і його єдиність.
24 Звідні та незвідні над полем дійсних чисел многочлени.
25 Знаходження раціональних коренів многочлена з раціональними коефіцієнтами.
26 Лінійні оператори. Власні значення і власні вектори. Теорема про зв’язок характеристичних чисел і власних значень лінійного оператора.
27 Будова простого розширення числового поля. Знищення ірраціональності в знаменнику дробу.
28 Обернена матриця та її обчислення. Розв’язування матричним способом системи лінійних рівнянь. Формули Крамера.
29 Зв’язок між розв’язками неоднорідної і відповідної їй однорідної системи лінійних рівнянь. Фундаментальна система розв’язків системи однорідних лінійних рівнянь, її побудова.

II. Теорія ймовірностей та математична статистика.

1 Поверхні. Гладкі поверхні. Перша і друга квадратичні форми поверхні.
2 Класичне означення ймовірності. Основні теореми (додавання, множення ймовірностей, формула повної ймовірності, формули Байєса).
3 Послідовності незалежних випробувань. Формула Бернуллі. Основні власивості біномного розподілу.
4 Дискретні випадкові величини. Закони розподілу, числові характеристики. Геометричний розподіл і розподіл Пуассона.
5 Неперервні випадкові величини. Закони розподілу, числові характеристики. Нормальний закон розподілу.
6 Задача оцінювання невідомих параметрів: точкові та інтервальні оцінки.
7 Статистична перевірка гіпотез. Перевірка гіпотез про числові характеристики нормального розподілу.

IІI. Геометрія

1 Різні види систем координат на площині, їх основні задачі. Геометричний зміст координат точок.
2 Теорія прямих на площині (в аналітичному викладі).
3 Лінія (крива), різні способи її задання. Класифікація алгебричних кривих другого порядку на евклідовій площині.
4 Різні види систем координат у просторі. Геометричний зміст координат точок. Метод координат у просторі.
5 Теорія площини у просторі (в аналітичному викладі).
6 Скалярний добуток двох векторів. Застосування його в геометрії.
7 Векторний добуток двох векторів. Застосування його в геометрії.
8 Мішаний добуток трьох векторів. Використання його в геометрії.
9 Аналітичні умови задання прямої у просторі. Взаємне розміщення прямих у просторі. Кут між прямими у просторі.
10 Різні задання рівняння прямої у просторі (канонічні та параметричні).
11 Критерій компланарності двох прямих. Критерій розбіжності прямих. Кут між прямими у просторі.
12 Взаємне розміщення двох площин, прямої і площини. Кут між площинами, між прямою і площиною.
13 Поверхні обертання, еліпсоїди, гіперболоїди, параболоїди (в аналітичному викладі)
14 Циліндричні та конічні поверхні (в аналітичному викладі).
15 Група рухів (переміщення) площини. Рухи першого роду, їх аналітичний запис і класифікація.
16 Група рухів площини, основні її підгрупи. Рухи другого роду, їх аналітичний запис і класифікація.
17 Група перетворень подібності площини та її підгрупи. Застосування подібностей до розв’язання задач.
18 Многогранники в евклідовому просторі. Правильні многогранники та їх класифікація.
19 Топологічний простір. Гомеоморфізм. Топологічний многовид. Приклади. Топологічні властивості листа Мьобіуса.
20 Геометричні побудови на площині за допомогою циркуля і лінійки. Основні побудови у шкільному курсі геометрії.
21 Зображення плоских і просторових фігур у паралельній проекції. Позиційні і метричні задачі. Приклади.
22 Гладкі криві. Кривина і скрут. Формули Френе. Плоскі криві.
23 Кліткове розбиття. Ейлерова характеристика многовиду.

IV. Математичний аналіз, теорія функцій та диференціальні рівняння.

1 Потужність множини. Зчислені множини та їх властивості. Зчисленість множини раціональних чисел.
2 Потужність множини. Незчисленні множини. Незчисленність множини дійсних чисел.
3 Основні теореми про неперервні функції однієї змінної.
4 Границя послідовності дійсної і комплексної змінної.
5 Збіжні послідовності дійсних чисел. Число e.
6 Поняття функції n дійсних змінних та функції комплексної змінної. Границя і неперервність функції в точці.
7 Частинні похідні. Похідна за напрямом. Градієнт функції багатьох змінних.
8 Степінь з дійсним і комплексним показником.
9 Диференційовні функції однієї і багатьох змінних, їх властивості.
10 Теореми про середнє в диференціальному та інтегральному численні.
11 Умови сталості та монотонності функції на проміжку, точки екстремуму. Умови опуклості функції на проміжку. Точки перегину. Асимптоти.
12 Похідна функції комплексної змінної. Умови диференційовності. Поняття аналітичної функції.
13 Первісна і невизначений інтеграл. Основні методи інтегрування.
14 Інтеграл Рімана для функції n дійсних змінних (n=1,2,3). Інтеграл Лебега.
15 Обчислення інтегралів Рімана для функції n дійсних змінних (n=1,2,3).
16 Криволінійний інтеграл функції двох змінних та інтеграл функції комплексної змінної.
17 Застосування інтегрального числення до розв’язування задач геометрії.
18 Застосування визначеного інтегралу до задач з фізики.
19 Степенева функція дійсної та комплексної змінної.
20 Показникова функція дійсної та комплексної змінної.
21 Логарифмічна функція дійсної та комплексної змінної.
22 Тригонометричні та обернені тригонометричні функції дійсної та комплексної змінної.
23 Функціональні ряди. Властивості рівномірно збіжних рядів.
24 Диференціальні рівняння другого порядку. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами.
25 Числові ряди з дійсними та комплексними членами. Ознаки збіжності. Абсолютно та умовно збіжні числові ряди.
26 Степеневі ряди з дійсними та комплексними членами. Ряд Тейлора.
27 Розклад в степеневий ряд основних елементарних функцій. Застосування степеневих рядів до наближених обчислень.
28 Звичайні диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння, які інтегруються в квадратурах.
29 Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.
30 n-вимірний евклідів простір Rn як узагальнення просторів R1, R2 і R3, його алгебрична і топологічна структура.(4)