Задача об оптимальном распределении ресурсов между отраслями за n лет.

Планируется деятельность двух отраслей на n лет. Пусть S — это количество ресурсов, подлежащих распределению. Средства x, вложенные в первую отрасль дают в конце года прибыль f1 (x) и возвращаются в размере q1 (x)  x, вложенные во вторую отрасль дают в конце года прибыль f2 (x) и возвращаются в размере q2 (x)  x. В конце года все возвращенные средства заново распределяются между отраслями. Новые средства не поступают, прибыль в производство не вкладывается. Требуется распределить имеющиеся средства между двумя отраслями на n лет так, чтобы прибыль от обеих отраслей за n лет оказалась максимальной.

Разобьем процесс распределения средств на n шагов. Начальное состояние системы S0

равно S. На первом шаге выделим первой и второй отрасли средства в количествах x1 и y1,

соответственно. Поскольку все средства должны быть полностью распределены, то

S0 = x1 + y1, y1 = S0 - x1.

В конце первого года отрасли получат прибыль Z1 = f1 (x1) + f2 (y1) =f1 (x1) + f2 (S0 -x1) и вернут

средства S= q1 (x1) + q2 (y1) = q1 (x1) + q2 (S0 - x1). Эти средства подлежат распределению на

втором шаге. На k -том шаге будут распределяться средства Sk1, вернувшиеся на шаге k -1.

Если xk и yk средства, выделенные отраслям на k -том шаге, то

Sk -1=xk+ yk Отсюда yk =Sk -1 - xk

Тогда прибыль полученная отраслями за k -ый год (целевая функция на k -том шаге) будет равна

Zk = f1 (xk)+ f2 (yk)= f1 (xk)+ f2 (Sk- 1- xk),

а распределению на следующем шаге подлежат возвращенные средства

Sk = q1 (xk) +q2 (yk) =q1 (xk) + q2 (Sk- 1 - xk)

Уравнения — это уравнения состояний.

Итак, приходим к следующей математической формулировке рассматриваемой задачи:

найти неотрицательные значения переменных xk и yk, удовлетворяющие условиям (5), (6), при

которых целевая функция

принимает наибольшее значение.

21. Элементы теории игр: основные понятия и классификация.

Теория игр служит для моделирования оценки воздействия принятого решения на конкурентов. Игрой называется идеализированная математическая модель конфликтной ситуации. Стороны, участвующие в конфликте называются игроками, а исход конфликта – выигрышем. Регулярное действие, выполняемое игроком, называется ходом. Совокупность ходов игрока, совершаемых им для достижения цели игры, называется стратегией. Все возможные действия игроков подчиняются определённым правилам. Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации и т.д.

В зависимости от количества игроков различают игры двух и n игроков. Наиболее изучены игры с двумя игроками. Такие игры называются парными. По количеству стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Если в игре все игроки имеют конечное число возможных стратегий, то она называется конечной. Если же хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество возможных стратегий, Игра называется бесконечной. По характеру взаимодействия игры делятся на коалиционные и бескоалиционные. Бескоалиционные – игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции; коалиционные (кооперативные) – могут вступать в коалиции. В кооперативных играх коалиции заранее определены. По характеру выигрышей игры делятся на: игры с нулевой суммой (общий капитал всех игроков не меняется, а перераспределяется между игроками; сумма выигрышей всех игроков равна нулю) и игры с ненулевой суммой. По виду функций выигрыша игры делятся на: матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые и др. Матричная игра – это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задаётся выигрыш игрока 1 в виде матрицы (строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 1, столбец – номеру применяемой стратегии игрока 2; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям).

Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец – стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице – выигрыш игрока 2.) Непрерывной считается игра, в которой функция выигрышей каждого игрока является непрерывной. Если функция выигрышей является выпуклой, то такая игра называется выпуклой. Для них разработаны приемлемые методы решения, состоящие в отыскании чистой оптимальной стратегии (определённого

числа) для одного игрока и вероятностей применения чистых оптимальных стратегий другого игрока.