Связь между различными системами параметров и их свойства

Системы уравнений (5.1), (5.3), (5.5), (5.7) являются равносильными, поэтому коэффициенты уравнений должны быть связаны между собой с помощью элементарных алгебраических соотношений. Для определения этих соотношений соответствующие (заданные) уравнения должны быть разрешены относительно тех напряжений и токов, которые будут определять новую (искомую) систему уравнений. Рассмотрим пример.

Пусть дана система уравнений в Z-параметрах (5.1). Данную систему можно решить относительно Ì ₁ и Ì ₂ с помощью формул Крамера:

.

Раскрывая эти выражения, получаем систему уравнений

где

(5.8)

Выражения (5.8) представляют собой формулы перехода между элементами Z-матрицы и Y-матрицы четырехполюсника. Аналогично можно показать преобразование других систем параметров. В литераторе по теории цепей приводятся таблицы соотношений между различными системами параметров.

Отметим основные свойства первичных параметров четырехполюсников.

1. Первичные параметры определяются только схемой четырехполюсника и ее элементами и не зависят от внешних цепей.

Пример. На входе Г-образного четырехполюсника (см. рис. 5.3), подключенного к внешним цепям, действует напряжение Ú ₁ и ток Ì ₁, а на выходе напряжение Ú ₂ и ток Ì ₂. Определим A-параметры четырехполюсника.

В соответствии со вторым и первым законами Кирхгофа Ú ₁ = Ú ₂ + Ì ₁ Z ₁и Ì ₁ = Ú ₂ /Z ₂ + Ì ₂.

Подставляя выражение для тока Ì ₁ в первое равенство, получаем

Ú ₁ = (1 + Z ₁ /Z ₂) Ú ₂ + Z ₁ Ì ₂; Ì ₁ = (1/ Z ₂) Ú ₂ + Ì ₂.

Сравнивая эти уравнения с уравнениями в системе A-параметров (5.7), находим A-параметры этой цепи: A ₁₁ = 1 + Z ₁ /Z ₂, A ₁₂ = Z ₁, A ₂₁ = 1/ Z ₂, A ₂₂ = 1. Как видно,A-параметры определяются только элементами Г-образного четырехполюсника и не зависят от внешних цепей.

2. Между различными системами первичных параметров существует однозначная связь.

Это свойство доказано выражениями (5.8).

3. Пассивный четырехполюсник полностью характеризуется не более чем тремя независимыми параметрами.

Действительно, в многоконтурной схеме пассивного четырехполюсника взаимные (общие) сопротивления Z_km и Z_mл k -го и m -го контуров равны между собой. Следовательно, Y ₂₁ = Y ₁₂. Зная связь между Y- и Z-параметрами (см. (5.8)), можно установить, что Z ₂₁ = Z ₁₂.

Далее можно показать (см. пример, решенный в первом свойстве), что для A-параметров справедливо соотношение

, т.е определитель A-матрицы равен единицы.

Наконец, аналогичным образом можно найти, что H ₁₂ = – H ₂₁.

Таким образом, независимыми параметрами четырехполюсника могут быть:

Z ₁₁, Z ₁₂= Z ₂₁, Z ₂₂, Y ₁₁, Y ₁₂= Y ₂₁, Y ₂₂, H ₁₁, H ₁₂= –H ₂₁, H ₂₂, и любые три из A ₁₁, A ₁₂, A ₂₁, A ₂₂.

4. При изменении направления передачи энергии через четырехполюсник во всех выражениях параметров коэффициенты A₁₁ и A₂₂ меняются местами.

5. Симметричные пассивные четырехполюсники имеют только два независимых первичных параметра.

Симметричным четырехполюсником называется такой, при котором перемена местами входных и выходных зажимов не изменяет напряжений и токов во внешних цепях. Следовательно, если поменять местами номера внешних полюсов, то в основных уравнениях четырехполюсника значения внешних токов и напряжений не изменятся. А это значит, что Z ₁₁ = Z ₂₂, Y ₁₁ = Y ₂₂, A ₁₁ = A ₂₂ и Δ_H = 1.