Особенности разложения в ряд Фурье кривых, обладающих симметрией

Разложение периодических несинусоидальных кривых в тригонометрический ряд Фурье

 

Явления, происходящие в линейных цепях при периодических несинусоидальных напряжениях и токах, проще всего поддаются расчету и исследованию, если несинусоидальные кривые раскладывать в тригонометрический ряд Фурье. Из математики известно, что периодическая функция f(ωt), удовлетворяющая условиям Дирихле, т.е. имеющая на всяком конечном интервале времени конечное число разрывов только первого рода и конечное число максимумов и минимумов, может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье

f(ωt)=A_o+ sinωt+ sin2ωt+ sin3ωt+···+ cosωt+ cos2ωt+ cos3ωt+···=

A_o+ .

Здесь: Ao – постоянная составляющая или нулевая гармоника; - амплитуда синусной составляющей k-й гармоники; - амплитуда косинусной составляющей k-й гармоники. Они определяются по следующим формулам

 

Так как где как следует из векторной диаграммы (рис.6.2) , то получаем

.

Входящие в это выражение слагаемые называются гармониками. Различают четные (k – четное) и нечетные гармоники. Первую гармонику называют основной, а остальные – высшими. Последняя форма ряда Фурье удобна в том случае, когда требуется знать процентное содержание каждой гармоники. Эта же форма ряда Фурье применяется при расчете цепей несинусоидального тока.

Хотя теоретически ряд Фурье содержит бесконечно большое число слагаемых, однако он как правило быстро сходится. а сходящимся рядом можно выразить заданную функцию с любой степенью точности. На практике достаточно взять небольшое число гармоник (3-5) для получения точности расчетов в несколько процентов.

 

Особенности разложения в ряд Фурье кривых, обладающих симметрией

1. Кривые, среднее за период значение которых равно нулю, не содержат постоянной составляющей (нулевой гармоники).

2. Если функция удовлетворяет условию f(ωt)=-f(ωt+π), то она называется симметричной относительно оси абсцисс. Этот вид симметрии легко определить по виду кривой: если сместить её на полпериода по оси абсцисс, зеркально отобразить и при этом она сольётся с исходной кривой (рис.6.3), то симметрия имеется. При разложении такой кривой в ряд Фурье в последнем отсутствует постоянная составляющая и все четные гармоники, поскольку они не удовлетворяют условию f(ωt)=-f(ωt+π). Следовательно, для таких кривых

f(ωt)= sin(ωt+ψ ₁ )+ sin(3ωt+ψ ₃ )+ sin(5ωt +ψ ₅ )+···.

3. Если функция удовлетворяет условию f(ωt)=f(-ωt), то она называется симметричной относительно оси ординат (четной). Этот вид симметрии легко определить по виду кривой: если кривую, лежащую левее оси ординат, зеркально отобразить и она сольется с исходной кривой, то симметрия имеется (рис.6.4). При разложении такой кривой в ряд Фурье в последнем будут отсутствовать синусные составляющие всех гармоник ( = 0), поскольку они не удовлетворяют условию f(ωt)=f(-ωt). Следовательно, для таких кривых

 

f(ωt)=А_о+ cosωt+ cos2ωt+ cos3ωt+···.

4. Если функция удовлетворяет условию f(ωt)=-f(-ωt), то она называется симметричной относительно начала координат (нечетной). Наличие данного вида симметрии легко определить по виду кривой: если кривую, лежащую левее оси ординат развернуть относительно точки начала координат и она сольется с исходной кривой, то симметрия имеется (рис.6.5). При разложении такой кривой в ряд Фурье в последнем будут отсутствовать косинусные составляющие всех гармоник ( = 0), поскольку они не удовлетворяют условию f(ωt)=-f(-ωt). Следовательно, для таких кривых

 

f(ωt)= sinωt+ sin2ωt+ sin3ωt+···.

При наличии какой-либо симметрии в формулах для и можно брать интеграл за полпериода, но результат удваивать, т.е. пользоваться выражениями

 

В кривых бывают и несколько видов симметрии одновременно. Для облегчения вопроса о гармонических составляющих в этом случае заполним таблицу

Вид симметрии	Аналитическое выражение	А о
1. Оси абсцисс	f(ωt)=-f(ωt+π)	-	Только нечетные
2. Оси ординат	f(ωt)=f(-ωt)	+	-	+
3. Начала координат	f(ωt)=-f(-ωt)	-	+	-
4. Оси абсцисс и оси ординат	f(ωt)=-f(ωt+π)=f(-ωt)	-	-	Нечетные
5. Оси абсцисс и начала координат	f(ωt)=-f(ωt+π)=-f(-ωt)	-	Нечетные	-

Раскладывая кривую в ряд Фурье, следует предварительно выяснить, не обладает ли она каким-либо видом симметрии, наличие которой позволяет заранее предсказать, какие гармоники будут в ряде Фурье и не выполнять лишней работы.