Свойства и графики тригонометрических функций

1. Область определения – множество всех действительных чисел.

2. Область изменения (множество значений) – промежуток .

3. Функция нечетная: .

4. Функция периодическая. Наименьший положительный период равен 2p: .

5. Нули функции: при .

6. Промежутки знакопостоянства:

при ,

при .

7. Функция

возрастает при

и убывает при .

8. Функция принимает

минимальные значения, равные -1, при ,

и максимальные значения, равные 1, при .

 

График функции называют синусоидой.

 

1. Область определения – множество всех действительных чисел.

2. Область изменения (множество значений) – промежуток .

3. Функция четная: .

4. Функция периодическая. Наименьший положительный период равен 2p: .

5. Нули функции: при .

6. Промежутки знакопостоянства:

при ,

при .

7. Функция

возрастает при

и убывает при .

8. Функция принимает

минимальные значения, равные -1, при ,

и максимальные значения, равные 1, при .

 

 

График функции также называют синусоидой.

1. Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел .

2. Область изменения (множество значений) – множество всех действительных чисел.

3. Функция нечетная: .

4. Функция периодическая. Наименьший положительный период равен p: .

5. Нули функции: при .

6. Промежутки знакопостоянства:

при ,

при .

7. Функция возрастает в каждом из промежутков .

График функции называют тангенсоидой.

1. Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел .

2. Область изменения (множество значений) – множество всех действительных чисел.

3. Функция нечетная: .

4. Функция периодическая. Наименьший положительный период равен p: .

5. Нули функции: при .

6. Промежутки знакопостоянства:

при ,

при .

7. Функция убывает в каждом из промежутков .

 

 

Обратные тригонометрические функции

Теорема о корне

Пусть функция монотонна (возрастает или убывает) на промежутке I, число a – любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение имеет единственный корень b в промежутке I.

у

y=f(x)

a

0 b x

Доказательство: Докажем единственность корня уравнения .

Пусть существует с – еще один корень уравнения .

Т.е. .

, либо .

Т.к. монотонна, то , либо , что противоречит предположению.

Следовательно, b - единственный корень.

y

y=f(x)

a

0 b c x

 

Функция возрастает на отрезке и принимает все значения от -1 до 1. Следовательно, по теореме о корне, для любого числа a, такого, что , в промежутке существует единственный корень b уравнения . Это число b называют арксинусом числа a и обозначают .

Арксинусом числа a называется числоиз отрезка , синус которого равен a.