Модель делового цикла Самуэльсона-Хикса.

Пусть состояние эк-ки в каждый период t характеризуется объемом нац.дохода , кот делится на потребление , инвестиции и гос.расходы :

(1)

Предположим, что гос.расходы явл автономными, т.е. не определяются в рамках модели и заданы экзогенно. Т.о. при всех t имеет место равенство: , где - положительная константа.

Решения дом.хоз-в по поводу объема потребительских расходов описываются кейнсианской ф-ей потребления:

(2)

- автономное потребление, – предельная склонность к потреблению, .

Предполагается, что инвестиции делятся на автономные и индуцированные. Последние в момент времени t предполагаются пропорциональными приросту ВВП за предыдущий период t-1. Т.о. имеет место соотношение:

(3). Коэффициент r – акселератор (положительный).

Подставляя в (1) (2) и (3), получим:

(4)

Где A – общая сумма автономных расходов:

(5)

Величина A показывает общую сумму автономных расходов всех эк.агентов.

Стационарное состояние динамической системы, описываемой урав-ем (4) показывает долгосрочный уровень равновесного нац.дохода:

.

Для решения линейного разностного урав-ия второго порядка (4), необходимо найти корни характеристического уравнения:

(6)

Рассмотрим дискриминант:

Корни будут вещественными тогда и только тогда, когда выполнено неравенство: . В противном случае корни будут мнимыми. Качественный хар-р траектории модели полностью определяется парой параметров (c, r).

Проведем анализ устойчивости стац.траектории модели Самуэльсона-Хикса.

1.Случай вещ.корней.

Определим знак характер.многочлена ур-ния при и . Т.к. в обеих точках характер.многочлен принимает положит.значения, можно утверждать, что имеет место одна из 3 альтернатив:

1)Оба корня лежат левее интервала (0;1)->возрастающая ф-я при 0 и 1.

2)Оба корня лежат внутри интервала (0;1)->при 0 убывающая, при 1 возрастающая.

3)Оба корня лежат правее интервала (0;1)->убывающая ф-я при 0 и 1.

Чтобы опр-ть, какой случай имеет место, следует определить знаки первой производной на концах отрезка [0;1]. Дифференцируя, имеем: . При производная всегда отрицательна: . При производная . Т.о. если , оба корня характер.урав-ия принадлежать интервалу (0;1). В этом случае динамика устойчива и не обнаруживает циклов. Если же , то , что ведет к неустойчивости стац.траектории.

2.Случай мнимых корней.

Согласно т.Виета: . С другой стороны, мнимые корни квадратного уравнения образуют комплексно-сопряженную пару, и, =>, имеют общий модуль, равный . Т.о., условие устойчивости состоит в выполнении неравенства: .

Итак, установлено, что характер траектории модели Самуэльсона-Хикса полностью определяется парой параметров c и r. Это означает, что каждой из возможных ситуаций соответствует область плоскости (c;r).

Область I – устойчивость циклических траекторий;

Область II – неустойчивые циклические траектории;

Область III – неустойчивые ациклические траектории;

Область IV – устойчивые ациклические траектории.