Вероятностная модель рынка с тремя состояниями.

Пусть индивид может быть занятым (E), безработным (U) или не быть ни тем, ни другим, т.е. не работать и одновременно не удовлетворять хотя бы одному из признаков безработного (не имеет работы в данный момент, активно ищет работу, готов приступить к работе на имеющихся условиях). Назовем таких индивидов «не участвующими» и будем обозначать соответствующее состояние N, а количество «не участвующих» в период t – посредством .

В рассматриваемом регионе имеет место фрикционная безработица, т.е. безработица, связанная с несовершенством механизма рынка труда, а значит, порождающая временные затраты, связанные с поиском работы:

;

Согласно региональному законодательству, каждый индивид обязан проработать, по крайней мере, один период перед тем, как выйти на пенсию:

;

Кроме того:

;

;

;

.

Т.о. матрица переходных вероятностей имеет вид:

Предполагается, что общая численность экономически активного населения региона постоянна и равна .

Другими словами в момент t выполняется равенство:

. (1)

Математическое ожидание числа занятых в период t:

;

Математическое ожидание числа не участвующих в период t:

;

Т.к. , то:

.

Динамическая система представляет собой неоднородную систему двух линейных разностных уравнений:

; (2)

Найдем стационарное состояние:

;

;

;

;

Коэффициенты при представляют собой характеризующие стационарную траекторию рынка труда доли занятых, безработных и «не участвующих» в общей численности населения.

Устойчивость стационарного состояния. В силу условия (1) достаточно исследовать на устойчивость стационарное состояние линейной системы (2). Рассмотрим матрицу коэффициентов этой системы:

;

Критерий устойчивости – все собственные числа матрицы коэффициентов должны быть меньше 1 по модулю. Собственные числа матрицы определяются из следующего уравнения: .

Сначала установим, являются ли собственные значения матрицы А вещественными или комплексно сопряженными. Рассмотрим дискриминант характеристического многочлена .

;

;

;

.

1. . Собственные числа матрицы – вещественные. Характеристический многочлен представлен в виде (3). Предположим ур-ние (3) имеет вещественный корень , такой, что выполнено неравенство: , кот равносильно выполнению ровно одного из двух неравенств , . При имеет место неравенство , т.к. . Тем боле справедливо неравенство , т.к. . Т.о. не явл корнем характеристического многочлена. Если же , то неравенство также справедливо, т.к. имеет место цепочка соотношений: . С другой стороны, . Т.о. снова , и не явл корнем характер.многочлена. Итак, показано, что в случае вещественных собственных значений стационарная траектория устойчива.

2. . Собственные числа матрицы – мнимые. Если собственные числа матрицы A явл мнимыми, то они образуют комплексно сопряженную пару: , . Числа и имеют равные модули: , .

С другой стороны, определитель матрицы равен произведению ее собственных значений: .

Тем самым, .

. Т.к. в квадратных скобках стоит положит.число, ,=>, . Но , значит, оба собственных значения имеют модуль, меньший 1. Т.о. устойчивость стационарной траектории доказана, как для вещественных, так и для комплексных корней.