Термодинамика (№№ 231-250)

 

Пример 1. Кислород массой m = 2 кг занимает объем V ₁ = 1 м³ и находится под давлением P ₁ = 0,2 МПа. После нагревания при постоянном давлении он занял объем V ₂ = 3 м³, а затем его давление в ходе изохорического процесса стало равным P ₃ = 0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа D U, совершенную им работу A и количество теплоты Q, переданной газу. Построить график процесса.

Решение. График процесса приведен на рис. 6.

Работа расширения газа A ₁₂ при изобарическом переходе из состояния 1 в состояние 2 вычисляется по формуле

 

 

Работа газа A ₂₃ при изо-хорическом переходе из сос-тояния 2 в состояние 3 равна нулю.

 

Таким образом, полная работа A, совершаемая газом при переходе из состояния 1 в состояние 3, равна

 

.

 

Изменение внутренней энергии газа при переходе 1®2®3 определяется соотношением

 

(1)

 

где i - число степеней свободы газа;

T ₁ и T ₃ - температура газа соответственно в начальном и конечном состояниях.

Уравнения Менделеева - Клапейрона для состояний 1 и 3 запишутся в виде

(2)

(3)

 

После совместного решения уравнений (1)-(3) получим выражение для изменения внутренней энергии газа:

 

Согласно первому началу термодинамики, теплота Q, переданная газу, расходуется на совершение газом работы и на изменение его внутренней энергии:

Q = A + D¹ U.

 

Произведем вычисления, учитывая, что для двухатомных молекул кислорода кг/моль, а число степеней свободы i = 5:

A = A ₁₂ = 0,2 × 10⁶ × (3 - 1) = 0,4 × 10⁶ Дж = 0,4 МДж;

 

× МДж;

 

Q = (3,25 + 0,4) = 3,65 МДж.

Пример 2. Тепловой двигатель, работающий по циклу Карно, получает тепло от нагревателя при температуре 227 °С в количечтве Q₁=5 кДж за цикл и передает часть его окружающему воздуху. При этом двигатель совершает за цикл работу, равную 2 кДж.

С каким к.п.д. работает двигатель? Какова температура окружающего воздуха и как изменяется его энтропия за счет работы двигателя в течении одного цикла?

 

Р е ш е н и е. Коэффициент полезного действия двигателя, работающего по циклу Карно, равен

 

(1)

 

где Q ₂ - тепло, передаваемое двигателем холо-дильнику (окружающей среде);

A - работа;

Т ₂ – температура холодильника (окружающей среды - воздуха);

Т ₁ - температура нагревателя.

Отсюда к.п.д.:

.

 

Температура окружающей среды (Т₁ =227+273=500К):

 

Т₂=Т₁(1-h)= 500(1-0,4)=300К=27⁰С.

 

Изменение энтропии окружающей среды определим по формуле Клаузиуса:

 

=0,01кДж/К=10Дж/К.

 

Заметим, что энтропия окружающей среды возрастает, так как она получает тепло от теплового двигателя.

 

Электростатика

 

Пример 1. Два точечных электрических заряда q ₁ = 1 нКл и q ₂ = - 2 нКл находятся в воздухе на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить напряженность и потенциал j поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удаленной от заряда q ₁ на расстояние r ₁ = 9 см и от заряда q ₂ - на расстояние r ₂ = 7 см.

Решение. Согласно принципу суперпозиции электрических полей каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность электрического поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: . Напряженности электрического поля, создаваемого в воздухе (e = 1) зарядами q ₁ и q ₂, равны

, . (1)

 

Вектор (рис. 7) направлен по силовой линии от заряда q ₁, так как этот заряд положителен; вектор направлен также по силовой линии, но к заряду q ₂, поскольку этот заряд отрицателен.

 

 

Модуль вектора найдем по теореме косинусов:

 

, (2)

 

где a - угол между векторами и , который мо-жет быть найден из треугольника со сторонами r ₁, r ₂ и d:

.

 

Во избежание громоздких записей значение cos a удобнее вычислить отдельно:

 

.

 

Подставляя выражения Е ₁ и Е ₂ из уравнений (1) в формулу (2) и вынося общий множитель за знак корня, получаем

 

.

 

В соответствии с принципом суперпозиции потен-циал поля, создаваемого двумя зарядами q ₁ и q ₂, равен алгебраической сумме потенциалов, т.е.

 

. (3)

 

Потенциал электрического поля, создаваемого в воздухе (e = 1) точечным зарядом q на расстоянии r от него, вычисляется по формуле

 

. (4)

 

Согласно формулам (3) и (4),

 

.

Учтем, что

,

 

и произведем вычисления:

 

 

× 10³ В/м кВ/м.

 

157 В.

 

При вычислении Е знак заряда q ₂ опущен, так как он определяет направление вектора напряженности, которое было учтено при графическом изображении вектора (см. рис. 7).

Пример 2. Конденсатор емкостью C ₁ = 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U ₁ = 40 В. После отключения от источника тока его соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью C ₂ = 5 мкФ. Какая энергия W израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Решение. Энергия, израсходованная на образование искры, равна

 

W = W ₁- W ₂, (1)

 

 

где W ₁ - энергия, которой обладал первый конден-сатор до присоединения к нему второго конден-сатора;

W ₂ - энергия, которую имеет батарея, состав-ленная из двух конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле

, (2)

 

где C - емкость конденсатора;

U - разность потенциалов между его обкладками.

Выразив в уравнении (1) энергии W ₁и W ₂ по формуле (2) и приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим

, (3)

 

где U ₂ - разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что общий заряд q после подключения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциалов U ₂ следующим образом:

 

. (4)

 

Подставив выражение (4) в формулу (3), найдем

 

.

Произведем вычисления:

 

1,5 × 10^-3 Дж.

 

 

Постоянный ток

 

Пример 1. Потенциометрссопротивлением R _п= 100 Ом подключен к батарее, ЭДС которой e = 150 В, а внут-реннее сопротивление r = 50 Ом, как показано на рис. 8.

Определить:

1) показание вольтметра, соединенного с одной из клемм потенциометра В и подвижным контактом А, установленным посередине потенциометра, еслисопротивление вольтметраравно R _V =500 Ом;

2) разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра.

Решение. Показание вольтметра, подключенного к точкам А и В (рис. 8), или разность потенциалов U ₁ между точками А и В, определяем по формуле

 

U ₁ = I ₁ R ₁, (1)

 

где R ₁ - сопротивление параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра;

I ₁ - суммарная сила тока в ветвях этого соединения (она равна силе тока в неразветвленной части цепи).

Силу тока I ₁ найдем по закону Ома для полной цепи:

, (2)

 

где R - сопротивление внешней цепи. Оно является суммой двух сопротивлений:

 

. (3)

 

Перепишем формулу (2) с учетом выражения (3):

 

(4)

 

Сопротивление R ₁ найдем по формуле параллельного соединения проводников

 

,

откуда

. (5)

 

Произведем промежуточные вычисления по формулам (5),(4) и (1):

 

45,5 Ом,

 

1,03 А,

 

U ₁ = 1,03 × 45,5 = 46,9 В.

 

Разность потенциалов между точками А и B при отключенном вольтметре равна произведению силы тока I ₂ на половину сопротивления потенциометра:

 

(6)

 

Силу тока в цепи при отключенном вольтметре определяем по формуле

(7)

 

Подставив выражение (7) в формулу (6), найдем разность потенциалов U ₂:

 

После вычислений получим

 

50 В.

 

Пример 2. Найти мощность, выделяемую электри-ческим током в нагрузке R = 25 Ом, если последняя подключена к источнику постоянного тока с внут-ренним сопротивлением r = 0,1 Ом и током короткого замыкания I _к.з = 150 А.

Решение. Записываем выражение для определения мощности, выделяемой на нагрузке R:

 

P = I ² R. (1)

 

Согласно закону Ома для замкнутой цепи

 

. (2)

 

Запишем соотношение, связывающее ток короткого замыкания I _к.з, ЭДС источника e и его внутреннее сопротивление r:

. (3)

Отсюда

e = I _к.з r. (4)

 

Подстановка соотношения (4) в формулу (2) дает

 

. (5)

 

Переписав формулу (1) с учетом выражения (5), получим окончательную формулу

 

, (6)

 

а затем, подставив числовые значения, найдем

 

9 Вт.

 

 

Электромагнетизм

 

Пример 1. Два параллельных бесконечно длинных провода D и С, по которым текут в одном направлении электрические токи силой I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга.

Определить индукцию магнитного поля, создаваемого проводниками с током в точке А (рис. 9), отстоящей от оси одного проводника на r ₁ = 5 см, а от другого - на r ₂ = 12 см.

Решение. Для нахождения магнитной индукции в точке А воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого выделим направление магнитных индукций и полей, создаваемых каждым проводником в отдельности, и сложим их геометрически: = + (см. рис. 9).

Модуль вектора может быть найден по теореме косинусов

 

, (1)

 

где a - угол между векторами и .

Магнитные индукции В ₁ и B ₂ выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r ₁ и r ₂ от проводов до точки А:

 

 

Подставляя выражения В ₁ и B ₂ в формулу (1) и вынося выражение за знак корня, получаем

 

. (2)

 

Вычислим cos a по теореме косинусов, учитывая, что Ð a = Ð DАС (как углы с соответственно перпен-дикулярными сторонами):

 

,

 

где d - расстояние между проводами. Отсюда

 

 

Подставим в формулу (2) числовые значения физических величин и произведем вычисления:

 

= 309×10^-6 Тл =

 

= 309 мкТл.

 

Пример 2. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток силой I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (B = 1 Тл). Определить работу A, совершаемую внеш-ними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сто-рон, на угол j=90°.

Решение. Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока через контур (рис. 10):

 

A = - I D Ф = I(Ф ₁- Ф ₂),

 

где Ф ₁ - магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения;

Ф ₂ - магнитный поток, пронизывающий контур после перемещения.

Еслиj=90°, то Ф ₁ = B×S, а Ф ₂ = 0. Следовательно,

 

А = I×B×S = I×B×а ² = 100×1×(0,1)² =1 Дж.

 

Примечание. Задача может быть решена другим способом, с использованием определения работы при вращательном движении:

А = М Dj.

 

Предлагаем эти вычисления проделать самостоятельно и убедиться, что описанный выше способ решения задачи с использованием понятия магнитного потока более рационален.

 

Пример 3. В колебательном контуре, состоящем из индуктивности и емкости, максимальный ток в катушке равен I _m = 1 А, а максимальное напряжение на конденсаторе равно U _m = 1 кВ. С момента, когданапряжение равно нулю, до момента, когда энергия в катушке становится равной энергии в конденсаторе, проходит t = 1,56 мкс. Считая омическое сопротивление пренебрежимо малым, вычислить период колебаний контура и его энергию.

Решение. По условию задачи энергия магнитного поля в заданный момент времени равна энергии электрического поля в конденсаторе. Сумма этих энергий определяет полную энергию поля контура:

 

(1)

 

где L - индуктивность контура;

I - ток в контуре;

С - емкость контура;

U - напряжение на пластинах.

Полная энергия контура, выраженная через максимальное напряжение, равна

 

. (2)

 

Из формул (1) и (2) определяем, что

 

. (3)

 

Используя уравнение гармонического колебания, в котором отсчет времени ведется от момента, когда напряжение равно нулю, имеем

 

,

 

где U _m - амплитуда напряжения (максимальное напряжение);

T - период колебаний;

t - время колебаний.

С учетом выражения (3) получаем

 

; .

 

Подставив числовые значения, находим Т:

 

,

откуда

.

 

Таким образом, период колебаний контура равен

 

Т = 8×1,57×10^-6 = 12,6×10^-6 с.

 

Вычислим теперь полную (максимальную) энергию контура. Она равна максимальной электрической энергии конденсатора (энергия магнитного поля при этом равна нулю) или максимальной энергии магнитного поля (при нулевой энергии электрического поля):

, , (4)

 

где I _m - максимальный ток в катушке.

Используя формулу Томсона получаем

 

. (5)

 

Произведение правых частей равенств (4) равно квадрату полной энергии контура . Извлечение корня с учетом формулы (5) дает

 

 

 

Вычисляем полную энергию контура:

 

0,001 Дж.

 

Пример 4. По двум параллельным проводникам, расположенным на расстоянии 20 см друг от друга, текут токи одного направления величиной в 100 А. Длина проводников равна 3 м. Вычислить силу взаимодействия между проводниками, если они находятся в вакууме.

Решение. На проводники с током в магнитном поле действует сила Ампера, которая может быть найдена по формуле

,

 

где d - расстояние между проводниками;

l - их длина;

I ₁ и I ₂ - токи в проводниках;

m - магнитная проницаемость среды, равная для вакуума m = 1;

m _о - магнитная постоянная.

Подставив в формулу известные нам значения, получаем

 

= 0,03 Н.

 

Пример 5. Внутри длинного соленоида, имеющего однослойную обмотку из провода диаметром d = 1 мм, находится стальной сердечник. Определить магнитную проницаемость сердечника при силе тока, равной I = 2 А.

Решение. Индукция намагничивающего поля, т.е. поля внутри соленоида без сердечника, вычисляется по формуле

, (1)

 

где k – число слоев обмотки.

Эта же индукция равна

 

, (2)

 

где Н – напряженность магнитного поля.

Из формул (1) и (2) следует, что

 

. (3)

 

Если внутрь соленоида поместить сердечник с магнитной проницаемостью , то индукция станет равной

. (4)

 

Отсюда с учетом соотношения (2) следует, что

 

. (5)

 

Подставляя в формулу (3) исходные данные, находим, что H = 2 кА/м, а затем по графику, изображенному на с.113 (см. приложение), для стали находим B = 1,25 Тл. Тогда

 

.

 

Пример 6. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов, равную U = 400 В, попал в однородное магнитное поле напряженностью H = 1 кА/м.

Определить радиус кривизны траектории и частоту обращения электрона в магнитном поле, если вектор скорости перпендикулярен линиям поля.

Решение. На движущийся в магнитном поле электрон действует сила Лоренца, которая сообщает электрону нормальное ускорение. По второму закону Ньютона , где - нормальное ускорение. Тогда в проекции на направление ускорения с учетом выражений для силы Лоренца и нормального ускорения имеем

,

 

где e - заряд электрона;

v - скорость электрона;

B - магнитная индукция;

m - масса электрона;

R - радиус кривизны траектории;

a - угол между векторами и (в нашем случае он равен 90°, следовательно, sin a = 1).

 

Отсюда найдем R:

. (1)

 

Если обозначить кинетическую энергию электронакак T, то входящий в равенство (1) импульс электрона mv может быть выражен как . Используя равенство T = eU для определения кинетической энергии электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, получаем

 

. (2)

 

Магнитная индукция может быть выражена через напряженность H магнитного поля в вакууме как . Подставив полученные выражения в формулу (1), находим

. (3)

 

Производим вычисления:

 

м.

 

Частота обращения электрона в магнитном поле связана с его скоростью и радиусом соотношением . Подставив в это соотношение выражение (3) с учетом формулы(2), получаем

 

.

 

Произведем вычисления:

 

c^-1 .

 

Пример 7. В однородном магнитном поле с индук-цией B = 0,1 Тл равномерно с частотой n = 10 об/c вращается рамка, содержащая N = 1000 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки равна S = 150 см². Определить мгновенное значение ЭДС индукции в момент времени, когда угол поворота рамки равен .

Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции определяется уравнением Фарадея - Максвелла

 

, (1)

 

где - потокосцепление, связанное с магнитным потоком Ф и числом витков N соотношением

 

= NФ. (2)

 

Подставляя выражение (2) в формулу (1), получаем

.

 

При вращении рамки магнитный поток, пронизывающий ее в момент времени t, определяется соотношением

, (3)

 

где B - магнитная индукция;

S - площадь рамки;

- циклическая частота.

Подставив в формулу (2) выражение (3) и продиф-ференцировав по времени, найдем мгновенное зна-чение ЭДС индукции:

.

 

Учитывая, что , а , получаем

 

.

 

Произведем вычисления:

 

B.

 

Пример 8. Имеется катушка, индуктивность кото-рой равна L = 0,2 Гн, а сопротивление R = 1,64 Ом.

Найти, во сколько раз уменьшится сила тока в катушке через t = 0,05 с после того, как катушка отключена от источника тока и замкнута накоротко.

Решение. При выключении тока в цепи, содержащей R и L (рис. 11), и ²закорачивании² катушки ток в ней изменяется по закону

 

,

 

где I _о - значение тока до ²закорачивания² катушки.

 

 

Через промежуток времени t ₁ сила тока в катушке будет равна Тогда отношение токов будет следующим:

 

.

 

Произведем вычисления:

 

раза.