Методика выполнения типовых задач. Рассмотрим методику расчета средних величин на конкретных примерах.

 

Рассмотрим методику расчета средних величин на конкретных примерах.

Пример 4.7 Заработная плата бригады строителей по отдельным профессиям за месяц характеризуется следующими данными:

Маляры	Штукатуры	Кровельщики
заработная плата, руб.	число рабочих, чел.	заработная плата, руб.	число рабочих, чел.	заработная плата, руб.	число рабочих, чел.
Итого

Определите среднюю заработную плату рабочих по каждой профессии и в целом по бригаде.

Решение:

Число рабочих известно. Исчислим фонд заработной платы маляров путем суммирования заработка каждого рабочего. В данном случае веса (частоты) равны единице. Следовательно, расчет средней заработной платы рабочих производится по формуле средней арифметической простой:

Если веса (частоты) в рядах распределения равны между собой, как это имеет место в бригаде штукатуров, расчет средней производится по формуле средней арифметической простой. Следовательно, средняя заработная плата штукатуров будет равна:

Если частоты имеют различные количественные значения, как в группе кровельщиков, то средняя заработная плата определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

В этом примере фонд заработной платы равен сумме произведений заработной платы каждого рабочего на их число.

Средняя заработная плата рабочих бригады строителей может быть определена двумя способами:

а) отношением фонда заработной платы рабочих по группам профессий к общей численности рабочих этих групп:

б) как средняя арифметическая взвешенная из групповых средних:

Пример 4.8 По данным обследования получены следующие данные о распределении студентов-заочников по возрасту:

Группа, № п/п	Группы студентов по возрасту, лет (х)	Число студентов, чел., (f)
I	20 – 25
II	25 – 30
III	30 – 35
IV	35 – 40
	Итого

Определите средний возраст студентов-заочников.

Решение:

Среднее значение признака по данным вариационного ряда распределения определяется по средней арифметической взвешенной. Чтобы ее применить, надо значения признака в интервале (варианты) выразить одним числом, т. е. дискретной величиной, за которую принимается середина интервала каждой группы. Так, варианта первой группы и т.д. по остальным группам. Расчеты удобнее располагать в таблице:

Группа, № п/п	Группы студентов по возрасту, лет (х)	Число студентов, чел., (f)	Середина интервала (хсер)
I	20 – 25		22,5
II	25 – 30		27,5
III	30 – 35		32,5
IV	35 – 40		37,5
	Итого

Таким образом,

В рядах распределения с открытыми интервалами величина интервала условно принимается равной интервалу соседних групп. Если, например, первая группа студентов имеет возраст до 25 лет, а четвертая – свыше 35 лет, то интервал первой группы приравнивается к интервалу следующей за ней второй группы, а четвертой – величине интервала предшествующей третьей группы. Дальнейший расчет аналогичен изложенному выше.

Пример 4.9 Средняя выработка продукции на одного рабочего за смену в двух цехах завода, вырабатывающих однородную продукцию, характеризуется следующими данными:

Бригада, №	Цех № 1	Бригада, №	Цех № 2
дневная выработка продукции, шт. (х)	число рабочих, чел., (f)	дневная выработка продукции, шт. (х)	число рабочих, чел., (f)
I			IV
II			V
III			VI

Определить среднедневную выработку продукции рабочих: а) по первому цеху; б) по второму цеху.

Решение:

Основой расчета является экономическое содержание показателя:

По первому цеху расчет производим по средней арифметической взвешенной:

По второму цеху – по средней гармонической взвешенной:

Пример 4.10 Имеются следующие данные о распределении рабочих по тарифному разряду:

Тарифный разряд(х)	Число рабочих, в % к итогу, (f)	Сумма накопленных частот, (Σf)
Итого

Определите моду и медиану.

Решение:

В дискретных рядах модой является варианта с наибольшей частотой. В задаче наибольшее число рабочих имеют четвертый разряд (49%). Следовательно, мода равна четвертому разряду. Для вычисления медианы надо определить сумму накопленных частот ряда, составляющую половину общей суммы частот. В графе 3 накопленная сумма частот составляет 63. Варианта х, соответствующая этой сумме, т. е. четвертому разряду, есть медиана.

Если сумма накопленных частот против одной из вариант равна половине суммы частот, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей.

Пример 4.11 Имеются следующие данные о распределении рабочих по затратам времени на обработку одной детали:

Затраты времени на одну деталь, мин., (х)	Число рабочих, чел., (f)	Сумма накопленных частот, (Σf)
4,5 – 5,5
5,5 – 6,5
6,5 – 7,5
7,5 – 8,5
8,5 – 9,5
9,5 – 10,5
10,5 – 11,5
Итого

Определите моду и медиану.

Решение:

В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода (M_о) и медиана (М_е) определяются по формулам:

и ,

где х_Мо = 7,5 – начальное значение модального интервала;

= 1 – величина модального интервала;

= 30 – частота модального интервала;

=23 – частота интервала, предшествующего модальному;

= 12 – частота интервала, следующего за модальным.

Модальным является интервал, имеющий наибольшую частоту, для данного примера модальным будет интервал (7,5;8,5).

Следовательно,

Наиболее часто рабочие затрачиваю на изготовление одной детали 7,78 мин.

Медианным является интервал, где находится варианта с номером ∑f/2, в данном примере ∑f/2 = 100/2 = 50, тогда медианным будет интервал (7,5;8,5).

=7,5 – начальное значение интервала, содержащего медиану;

= 1 – величина медианного интервала;

∑f = 100 –. сумма частот ряда;

= 49 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

= 30 – частота медианного интервала.

Следовательно,

Таким образом, одна половина рабочих затрачивает на обработку детали до 7,53 мин., другая – свыше 7,53 мин.

 

Показатели вариации

 

Средняя величина характеризует совокупность по изучаемому признаку, такой характеристики совокупности будет достаточно, если разброс индивидуальных значений невелик. Когда ряд характеризуется значительным рассеиванием индивидуальных значений, то применение средней величины ограничено. При значительном рассеивании индивидуальных значений необходимо рассчитать специальную систему показателей, характеризующих средний размер отклонений индивидуальных значений от средней величины и степень колеблемости признака в совокупности, т.е. показателей вариации. В таблице 4.4 представлены методики расчета показателей вариации.

Таблица 4.4 – Методика расчета и область применения показателей вариации

Наименование показателя	Методика расчета	Область применения
Абсолютные
Размах вариации		Он измеряет только крайние значения вариант в ряду и не учитывает промежуточные значения.
Среднее линейное отклонение	а) простое: ; б) взвешенное:	Он учитывает различия всех единиц совокупности, но при этом не учитываются знаки отклонений, то есть их направленность. Что является его основным недостатком. Поэтому этот показатель вариации используется редко
Дисперсия	а) простая: ; б) взвешенная:	Это средний квадрат отклонений индивидуальных значений от средней величины. Недостаток дисперсии состоит в том, что она имеет размерность вариант, возведённую в квадрат (рублей в квадрате, человек в квадрате).
Среднее квадратическое отклонение		Среднее квадратическое отклонение имеет размерность усредняемого признака, экономически хорошо интерпретируется. Она используется для оценки надежности средней: чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем надежнее среднее значение признака x, тем лучше средняя представляет исследуемую совокупность.
Относительные
Коэффициент осцилляции		Он отражает колеблемость крайних значений признака вокруг средней.
Относительное линейное отклонение		Он характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины.
Коэффициент вариации		Коэффициент вариации используется для характеристики однородности исследуемой совокупности. Статистическая совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

Абсолютные показатели вариации в основном используются для характеристики надежности средней. Они отражают отклонение исходных вариант от их среднего значения Относительные показатели вариации применяются для сравнения степени вариации различных вариационных рядов и характеристики степени однородности совокупности.

Если изучаемая совокупность состоит из нескольких частей, то для каждой из них можно рассчитать среднее значение признака и дисперсию. Кроме этого можно рассчитать дисперсию, измеряющую вариацию признака между выделенными частями совокупности. Таким образом, с помощью разных видов дисперсии можно более глубоко изучить вариацию признака в совокупности. Различают следующие виды дисперсий: общая дисперсия, межгрупповая и внутригрупповая.

Выяснение общего характера распределения предполагает не только оценку степени его однородности, но и исследование формы распределения, т.е. оценку симметричности и эксцесса.