Электронная теория дисперсии света

Глава 24

Взаимодействие электромагнитных волн с веществом

Дисперсия света

Дисперсией света называется зависимость показателя преломления n вещества от частоты v (длины волны l) света или зависимость фазовой скорости v световых волн (см. § 154) от его частоты v. Дисперсия света представляется в виде зависимости

n=f(l). (185.1)

Следствием дисперсии является разложение в спектр пучка белого света при прохождении его через призму. Первые экспериментальные наблюдения дисперсии света принадлежат И. Ньютону (1672 г.). Рассмотрим дисперсию света в призме. Пусть монохроматический пучок света падает на призму с показателем преломления n (рис. 268) под углом a₁. После двукратного преломления (на левой и правой гранях призмы) луч оказывается отклоненным от первоначального направления на угол j.

Из рисунка следует, что j=(a₁-b₁)+(a₂-b₂)=a₁+a₂- A. (185.2)

Предположим, что углы А и a₁ малы, тогда углы a₂, b₁ и b₂ будут также малы и вместо синусов этих углов можно воспользоваться их значениями. Поэтому a₁/b₁=n, b₂/a₂=1/n, а так как b₁+b₂= А, то

a₂=b₂n=n (А -b ₁)= n(А-a ₁/n) = nA-a₁,

a₁+a₂=nA. (185.3)

Из выражений (185.3) и (185.2) следует, что

j=A(n-1), (185.4)

т. е. угол отклонения лучей призмой тем больше, чем больше преломляющий угол призмы.

Из выражения (185.4) вытекает, что угол отклонения лучей призмой зависит от величины n-1, а n — функция длины волны, поэтому лучи разных длин волн после прохождения призмы окажутся отклоненными на разные углы, т. е. пучок белого света за призмой разлагается в спектр, что и наблюдалось И. Ньютоном. Таким образом, с помощью призмы, так же как и с помощью дифракционной решетки,

разлагая свет в спектр, можно определить его спектральный состав.

Рассмотрим различия в дифракционном и призматическом спектрах.

1. Дифракционная решетка разлагает падающий свет непосредственно по длинам волн (см. (180.3)), поэтому по измеренным углам (по направлениям соответствующих максимумов) можно вычислить длину волны. Разложение света в спектр в призме происходит по значениям показателя преломления, поэтому для определения длины волны света надо знать зависимость n =f (l) (185.1).

2. Составные цвета в дифракционном и призматическом спектрах располагаются различно. Из (180.3) следует, что в дифракционной решетке синус угла отклонения пропорционален длине волны. Следовательно, красные лучи, имеющие большую длину волны, чем фиолетовые, отклоняются дифракционной решеткой сильнее. Призма же разлагает лучи в спектр по значениям показателя преломления, который для всех прозрачных веществ с увеличением длины волны монотонно уменьшается (рис. 269). Следовательно, красные лучи, имеющие меньший показатель преломления, чем фиолетовые, отклоняются призмой слабее.

Величина

D=dn/dl.

называемая дисперсией вещества, показывает, как быстро изменяется показатель преломления с длиной волны. Из рис. 269 следует, что показатель преломления для прозрачных веществ с уменьшением длины волны монотонно увеличивается; следовательно, величина dn/dl по модулю также увеличивается с уменьшением l.

Такая дисперсия называется нормальной. Как будет показано ниже, ход кривой n (l) — кривой дисперсии — вблизи линий и полос поглощения будет иным: n уменьшается с уменьшением l. Такой ход зависимости n от lназывается аномальной дисперсией.

На явлении нормальной дисперсии основано действие призменных спектрографов. Несмотря на их определенные недостатки (например, необходимость градуировки, различная дисперсия в разных участках спектра) при определении спектрального состава света, призменные спектрографы находят широкое применение в спектральном анализе. Это объясняется тем, что изготовление хороших призм значительно проще, чем изготовление хороших дифракционных решеток. В призменных спектрографах также легче получить большую светосилу.

Электронная теория дисперсии света

Из макроскопической электромагнитной теории Максвелла следует, что абсолютный показатель преломления среды

n=Öem,

где e — диэлектрическая проницаемость среды, m — магнитная проницаемость. В оптической области спектра для всех веществ m»1 поэтому

n=Öe. (186.1)

Из формулы (186.1) выявляются некоторые противоречия с опытом: величина n, являясь переменной (см. § 185), остается в то же время равной определенной постоянной Öe. Кроме того, значения n, получаемые из этого выражения, не согласуются с опытными значениями. Трудности объяснения дисперсии света с точки зрения электромагнитной теории Максвелла устраняются электронной теорией Лоренца. В теории Лоренца дисперсия света рассматривается как результат взаимо-

действия электромагнитных волн с заряженными частицами, входящими в состав вещества и совершающими вынужденные колебания в переменном электромагнитном поле волны.

Применим электронную теорию дисперсии света для однородного диэлектрика, предположив формально, что дисперсия света является следствием зависимости e от частоты w световых волн. Диэлектрическая проницаемость вещества по определению (см. (88.6) и (88.2)) равна

e=1+c=1+Р/(e₀E),

где c — диэлектрическая восприимчивость среды, e₀ — электрическая постоянная, P — мгновенное значение поляризованности. Следовательно,

n²=1+Р/(e₀E), (186.2)

т. е. зависит от Р. В данном случае основное значение имеет электронная поляризация, т. е. вынужденные колебания электронов под действием электрической составляющей поля волны, так как для ориентационной поляризации молекул частота колебаний в световой волне очень высока (v»10¹⁵ Гц).

В первом приближении можно считать, что вынужденные колебания совершают только внешние, наиболее слабо связанные с ядром электроны — оптические электроны. Для простоты рассмотрим колебания только одного оптического электрона. Наведенный дипольный момент электрона, совершающего вынужденные колебания, равен р=ех, где е — заряд электрона, х — смещение электрона под действием электрического поля световой волны. Если концентрация атомов в диэлектрике равна по, то мгновенное значение поляризованности

Р=n ₀ p=n ₀ ех. (186.3)

Из (186.2) и (186.3) получим

n²=1+n₀ех/(e₀E). (186.4)

Следовательно, задача сводится к определению смещения х электрона под действием внешнего поля Е. Поле световой волны

будем считать функцией частоты w, т. е. изменяющимся по гармоническому закону: E=E ₀ coswt.

Уравнение вынужденных колебаний электрона (см. § 147) для простейшего случая (без учета силы сопротивления, обусловливающей поглощение энергии падающей волны) запишется в виде

где F ₀ =eE ₀— амплитудное значение силы, действующей на электрон со стороны поля волны, w0=Ök/m — собственная частота колебаний электрона, m — масса электрона. Решив уравнение (186.5), найдем e=n² в зависимости от констант атома (е, т, w ₀) и частоты w внешнего поля, т. е. решим задачу дисперсии.

Решение уравнения (186.5) можно записать в виде

в чем легко убедиться подстановкой (см. (147.8)). Подставляя (186.6) и (186.7) в (186.4), получим

Если в веществе имеются различные заряды e_i, совершающие вынужденные колебания с различными собственными частотами w₀_i, то

где m_i — масса i-ro заряда.

Из выражений (186.8) и (186.9) вытекает, что показатель преломления n зависит от частоты w внешнего поля, т. е. полученные зависимости действительно подтверждают явление дисперсии света, хотя и при указанных выше допущениях, кото-

рые в дальнейшем надо устранить. Из выражений (186.8) и (186.9) следует, что в области от w=0 до w=w₀n² больше единицы и возрастает с увеличением со (нормальная дисперсия); при w=w₀ n²= ±¥; в области от w=w₀ до w=¥ n² меньше единицы и возрастает от -¥ до 1 (нормальная дисперсия). График зависимости и от со представлен на рис. 270. Подобное поведение n вблизи собственной частоты w₀ получилось в результате допущения об отсутствии сил сопротивления при колебаниях электронов. Если принять в расчет и это обстоятельство, то график функции n (w) вблизи w₀ задается штриховой линией АВ. Область АВ — область аномальной дисперсии (n убывает при возрастании w), остальные участки зависимости n от w описывают нормальную дисперсию (n возрастает с возрастанием со).

Советскому физику Д. С. Рождественскому (1876—1940) принадлежит классическая работа по изучению аномальной дисперсии в парах натрия. Он разработал интерференционный метод для очень точного измерения показателя преломления паров и экспериментально показал, что формула (186.9) правильно характеризует зависимость и от со, а также ввел в нее поправку, учитывающую квантовые свойства света и атомов.