Множинний та частинний коефіцієнти кореляції

У випадку, коли досліджуваний об’єкт або явище характеризується більш ніж двома ознаками Х ₁, Х ₂, …, Х_k, необхідно вивчати множинні залежності. Для оцінки сили зв’язку між певною ознакою Х_і та усіма іншими ознаками слугує множинний коефіцієнт кореляції, який позначається .

Для розрахунку множинного коефіцієнта кореляції необхідно:

1) Побудувати матрицю парних коефіцієнтів кореляції між ознаками та :

. (3.7)

2) Знайти визначник матриці А та алгебраїчне доповнення елемента цієї матриці.

3) Розрахувати множинний коефіцієнт кореляції за формулою:

. (3.8)

Перевірка статистичної значущості множинного коефіцієнта кореляції здійснюється за допомогою t-статистики, яка розраховується за формулою:

(3.9)

де п – кількість взаємопов’язаних значень ознак .

Розраховане значення t-статистики порівнюється з критичним значенням F_крит. F_крит – табличне значення розподілу Фішера, яке також можна знайти за допомогою вбудованої статистичної функції Excel FРАСПОБР (; l ₁; l ₂), де – обраний дослідником рівень значущості, l ₁; l ₂ – ступені волі, l ₁= k –1; l ₂ = п – k.

Якщо розраховане значення t-статистики більше критичного , то множинний коефіцієнт кореляції вважається значимим на обраному рівні значущості .

У випадку, коли необхідно дослідити кореляційний зв’язок між ознаками Х_і та , , , із множини ознак Х ₁, Х ₂, …, Х_k досліджуваного об’єкту або явища, вільний від впливу всіх інших ознак, розраховується частинний коефіцієнт кореляції, який позначається .

Для розрахунку частинного коефіцієнта кореляції необхідно:

1) Побудувати матрицю парних коефіцієнтів кореляції А.

2) Знайти алгебраїчні доповнення елементів відповідно.

3) Розрахувати частинний коефіцієнт кореляції за формулою:

. (3.9)

Перевірка статистичної значущості частинного коефіцієнта кореляції здійснюється за допомогою t-статистики, яка розраховується за формулою:

, (3.10)

де п – кількість взаємопов’язаних значень ознак .

Розраховане значення t-статистики порівнюється з критичним значенням t_крит. t_крит – табличне значення розподілу Стьюдента, яке також можна знайти за допомогою вбудованої статистичної функції Excel СТЬЮДРАСПОБР (; l), де – обраний дослідником рівень значущості, l – ступені волі, l = п – k +2.

Якщо розраховане значення t-статистики більше критичного , то частинний коефіцієнт кореляції вважається значимим на обраному рівні значущості .

Зауваження. 1. Вважається, що для коректного використання множинного і частинного коефіцієнтів кореляції необхідно, щоб вибіркові дані мали сумісний нормальний розподіл, однак перевірка цієї умови на практиці зазвичай не виконується, оскільки пов’язана зі значними труднощами у розрахунках.

2. Замість парного коефіцієнта кореляції Пірсона можна використовувати також парний коефіцієнт кореляції Спірмена.

3. Кореляційна матриця завжди симетрична відносно головної діагоналі, оскільки . Елементи головної діагоналі завжди дорівнюють 1, оскільки вони є коефіцієнтами кореляції та .

 

Завдання для самостійного виконання

1. Визначити силу зв’язку між вагою рослини X (г) і вагою його насіння Y (г) за даними таблиці 1

Таблиця 1

X
Y

 

2. В таблиці 2 приведені дані про роздрібний товарообіг Z (млрд. грн.), середню кількість населення X (млн. осіб) та середній доход Y (млн. грн.). Проаналізувати зв’язок між Z та X і Y за частинними і множинним коефіцієнтами кореляції.

Таблиця 2

Z	1,2	1,3	2,5	1,4	1,2	0,2	2,4	4,1	1,1
X	1,4	1,4	2,5	1,5	1,3	0,3	2,6	4,2	1,1
Y	1,3	1,3	1,4	1,8	1,5	1,6	1,8	1,9	1,6

 

3. Для дослідження впливу капіталовкладень X (млн. грн.) на отриманий річний прибуток Y (млн. грн.) було зібрано статистичні дані за 20 крупними підприємствами (табл.3). Визначити силу зв’язку між означеними факторами.

Таблиця 3

X Y	0 – 10	10 – 20	20 – 30	30 – 40	40 – 50
1,5 – 2,5		-	-	-	-
2,5 – 3,5				-	-
3,5 – 4,5	-				-
4,5 – 5,5	-	-	-		-

 

4. В таблиці 4 приведені дані про щомісячний прибуток Z (тис. у. од.), витрати на рекламу X (тис. у. од.) та вкладення капіталу в цінні папери Y (тис. у. од.). Проаналізувати зв’язок між Z та X і Y за частинними і множинним коефіцієнтами кореляції.

Таблиця 4

Z
X	0,2	0,5	0,3	0,5	0,5	0,6	0,8
Y	0,8	0,2		1,2	0,9		1,1

 

5. В таблиці5 наведено дані про рівень витрат X (%) та річний доход Y (млн. грн.), які було зібрано за 50 крупними магазинами. Визначити силу зв’язку між означеними факторами.

Таблиця 5

X Y	4 – 6	6 – 8	8 – 10	10 – 12	12 – 14
0,5 – 2,0	-	-
2,0 – 3,5	-				-
3,5 – 5,0	-				-
5,0 – 6,5				-	-
6,5 – 8,0			-	-	-

 

6-9. За даними таблиці 6 перевірити гіпотезу про наявність лінійного зв’язку.

Таблиця 6

№	X	Y
											0,05
											0,01
											0,05
											0,01