Признаки монотонности функции

Одно из самых важных назначений дифференциального исчисления – это применение его к исследованию функций (линий). Эта процедура опирается на весьма простую связь между поведением функции и свойствами ее производных.

Теорема 15.1.(Необходимый и достаточный признак монотонности).

1. Если функция в интервале возрастает, то её производная - неотрицательная.

2. Если - убывает, то её производная неположительная .

3. Если , (то есть не изменяется), то

Геометрический смысл теоремы

Если подвижная точка при движении по графику функции слева на право поднимается, то касательная к графику функции образует острый угол с осью Ох ; если же точка опускается, то касательная образует тупой угол, .

В интервале монотонности функции знак её производной не может изменяться на противоположный.

Достаточный признак монотонности читается из теоремы в обратном порядке.

Пример 15.1. Исследовать на монотонность функцию:

Решение: Найдем: Приравняем , то есть

.

Вся числовая ось разбивается на три интервала:

 

 

1. функция возрастает;

2. функция убывает;

3. функция возрастает.

Определение 15.1. Те, значения , в которых производная обращается в нуль, называются стационарными точками функции.

Как видно из нашего примера - в этих точках функция меняет характер своего поведения, сначала возрастает, потом убывает и т.д.

Экстремумы функции

Определение 15.2. Точка называется точкой максимума функции , если , есть наибольшее значение функции в окрестности точки . Точка - минимум, если - наименьшее значение функции в окрестности точки . Точки максимум и минимум объединяются названием точки экстремума.

Необходимый признак экстремума функции

 

Теорема 15.2.(признак Ферма). Функция может иметь экстремумы только в тех точках, в которых ее производная равна нулю или не существует.

С геометрической точки зрения тот факт, что , по теореме Ролля означает, что касательная в точке х параллельна оси Ох, а тот факт, что - не существует, означает, что - не дифференцируема (см. рисунки). Примеры таких функций:

 

 

В точках и касательная параллельна оси Оу. Такие точки называются точками возврата.

В точках и касательная переходит внезапно от одного положения к другому, то есть, в этой точке нет, определенной касательной – угловые точки. Необходимый признак не является достаточным.

Пример 15.2. , но производная не меняет знака, на всей числовой оси, следовательно, точка - не экстремум. Когда же точка будет экстремумом? Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема.