Пределы применимости приближенной теории из­гиба балок

При выводе дифференциального уравнения изогнутой оси балки (28) выражение для кривизны балки было выбрано приближенно. Выясним степень точности приближенного уравнения (27). Для этого рассмотрим задачу о чистом изгибе консольной балки (рис. 6.43).

Рис. 6.43

 

В этом случае и поэтому Из рис. 6.43 прогиб на конце консоли:

Разложим косинус в ряд и ограничимся тремя первыми элементами:

Выражение для прогиба f принимает вид:

или с учетом и (7):

(36)

Дадим теперь приближенное решение задачи. Интегрируя уравнение

при получаем:

Так как при прогиб , угол поворота , то

При на конце консоли прогиб:

(37)

Сравнивая решения (36), (37), находим:

Удовлетворимся при определении прогибов по приближенной теории точ­ностью в 3%. Полагая

получаем:

Таким образом, приближенное дифференциальное уравнение (27) изо­гнутой оси упругой балки дает достаточную точность решения задачи даже в том случае, когда прогиб составляет 30% от длины стержня. Та­кие прогибы возможны только у очень гибких балок большой длины или очень малой толщины типа гибкой стальной линейки.

Вопросы для самопроверки

- Что называется балкой?

- Какой вид нагружения называется изгибом?

- Какой изгиб называется чистым, поперечным?

- Какой изгиб называют чистым, поперечным, прямым и косым?

- Чем отличается чистый изгиб от поперечного изгиба, прямой изгиб от косого изгиба?

- Сформулируйте определение «поперечный изгиб»?

- Сформулируйте понятие «чистый изгиб»?

- Какую плоскость называют силовой?

- Что понимается под волокнами бруса? В чем сущность гипотезы плоских сечений и допущения о ненадавливании волокон друг на друга?

- Что такое нейтральная линия, силовая линия?

- Докажите, что при прямом изгибе нейтральная линия является центральной главной осью поперечного сечения бруса?

- Какие силовые факторы возникают в сечении балки при чистом изгибе?

- Какие силовые факторы возникают в сечении при поперечном изгибе?

- Какой силовой фактор вызывает изгиб бруса? Охарактеризуйте тип деформации бруса при изгибе? Что такое нейтральный слой?

- Что такое изгибающий момент (M _х)? Выразите M _х через напряжения в рассматриваемом сечении? Как определя­ется M _х через внешние силы?

- Что такое поперечная сила (Q _y)? Как определяется Q _y через внешние силы?

- Чем отличается статически определимая балка от статически неопределимой?

- Для чего в многопролетных балках вводятся промежуточные шарниры?

- Какие виды нагрузок могут действовать на балку?

- Какие виды опор встречаются при расчете балок? Чем они отличаются?

- Что подразумевается под понятием «поперечная сила»? как она определяется?

- Какое правило законов для определения поперечной силы используется?

- Сформулируйте определения понятия «изгибающий момент, действующий в сечении балки»?

- Каково правило законов для определения изгибающего момента используется?

- Как вычисляется изгибающий момент в поперечном сечении балки?

- Как вычисляются поперечная и продольная силы в поперечном сечении балки?

- Как определить значение поперечной силы и изгибающего момента в произвольном сечении балки?

- Как определить знаки поперечной силы и изгибающего момента?

- Какие уравнения используются для определения значений опорных реакций?

- Как проверить правильность определения опорных реакций?

- Как формулируется гипотеза плоских сечений?

- Что представляют собой нейтральный слой и нейтральная линия и как они расположены?

- По какой формуле определяются нормальные напряжения в поперечном сечении балки при чистом изгибе и как они изменяются по высоте балки?

- Что называется моментом сопротивления при изгибе и какова его размерность?

- Для чего строят эпюры внутренних силовых факторов?

- Как можно контролировать построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М?

- Опишите особенности очертания эпюр M _х и Q _y: в каких сечениях наблюдаются скачкообразные изменения орди­нат в эпюре M _х; на каких участках эпюра M _х — линейная функция, a Q _y = const, почему в местах приложения попереч­ной сосредоточенной силы в эпюре Q _y — скачок, а в эпюре M _х — «излом» направления касательной; почему в сечениях, в которых M _х имеет экстремальные значения, Q _y = 0 или про­скакивает через нулевое значение?

- Если эпюра поперечной силы ограничена наклонной прямой, как выглядит эпюра изгибающего момента?

- Как определить положение экстремального значения изгибающего момента при действии распределенной нагрузки на участке балки?

- Распределенная нагрузка направлена вверх. Как выглядит парабола, очерчивающая эпюру изгибающих моментов вдоль оси бруса?

- Какой линей очерчена эпюра изгибающих моментов, если закон их изменения по длине балки выражается уравнением: ?

- Как находят опасные сечения?

- Какими зависимостями связаны изгибающий момент, поперечная сила и интенсивность распределенной нагрузки? Как эти зависимости используют при проверке правильности построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов?

- Получите дифференциальные зависимости между изгибающим моментом (M _х), поперечной силой (Q _y) и интен­сивностью внешней нагрузки q?

- В какой последовательности строят эпюры поперечных сил и изгибающих моментов?

- Почему для определения значения поперечной силы и изгибающего момента в произвольном сечении балки на двух опорах необходимо знать реакции опор?

- Как изменяется поперечная сила в сечении балки, к которому приложена сосредоточенная сила? Как изменяется значение изгибающего момента в сечении балки, к которому приложен сосредоточенный момент?

- Как определить максимум и минимум эпюры изгибающих моментов?

- Какие допущения положены в основу вывода формулы для определения нормальных напряжений при изгибе?

- Получите соотношение между величиной изгибающего момента и кривизной изогнутой оси бруса?

- Получите формулу нормальных напряжений при изгибе? Охарактеризуйте эпюру напряжений, величину наибольших нормальных напряжений, момента сопротивления сечения балки при изгибе?

- Получите формулу сдвигающей силы в продольных сечениях бруса при изгибе. Как используется эта формула при расчете составных сечений балок?

- Получите формулу касательных напряжений при из­гибе? Охарактеризуйте параметры, входящие в эту формулу, и постройте эпюры напряжений для прямоугольного и дву­таврового сечений бруса?

- Приведите формулировку и аналитическую запись условия прочности при изгибе?

- Покажите, как используется условие прочности при подборе сечения балки, определения допустимой величины изгибающего момента при заданном сечении балки, проверку прочности балки при заданной нагрузке?

- Как распределяются нормальные напряжения по поперечному сечению балки? В каких точках сечения они достигают наибольшего значения?

- Напишите формулу для определения нормального напряже­ния при изгибе в любой точке поперечного сечения?

- Напишите формулы для определения момента инерции и момента сопротивления для прямоугольника. Что характеризуют эти величины? Укажите единицы измерения этих величин?

- Напишите условие прочности при изгибе?

- Подберите размеры поперечного сечения балки в виде швелл­ера? Максимальный изгибающий момент 15кНм; допускаемое напряжение материала балки 160 МПа.

- Почему при поперечном изгибе в продольных сечениях балки возникают касательные напряжения?

- Каким опытом можно подтвердить возникновение касательных напряжений в продольных сечениях балки?

- Что представляет собой нейтральная линия сечения? Как определить ее положение?

- В каких точках поперечного сечения возникают при поперечном изгибе балки наибольшие касательные напряжения? Как их определить?

- Как составляют условие прочности балки при изгибе?

- Дифференциальные зависимости при изгибе.

- Правило знаков при построении эпюр.

- По какой формуле определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях балки при поперечном изгибе?

- Сформулируйте теорему Д.И. Журавского?

- Какое напряжение в сечении балки вызывает поперечная сила?

- Какое напряжение в сечении балки вызывает изгибающий момент?

- Запишите формулу для определения касательных напряжений в поперечных сечениях балки при прямом поперечном изгибе?

- Как распределяются нормальные напряжения по высоте сечения балки?

- Как распределяются касательные напряжения по высоте сечения балки?

- Как записываются условия прочности при поперечном изгибе балки по нормальным напряжениям?

- Как записываются условия прочности при поперечном изгибе балки по касательным напряжениям?

- Какова разница в расчетах балок по допускаемой нагрузке и по допускаемым напряжениям?

- Как производится проверка прочности балки по главным напряжениям?

- Как определяется потенциальная энергия при поперечном изгибе?

- Как ведется расчет балок по разрушающей нагрузке?

- Какой вид имеют эпюры касательных напряжений в поперечных сечениях прямоугольной и двутавровой формы?

- Как находятся главные напряжения при изгибе?

- Как направлены главные площадки на уровне нейтрального слоя и в точках, наиболее удаленных от этого слоя?

- Что представляют собой траектории главных напряжений?

- Прогибы и углы поворота при изгибе.

- Какие формы поперечных сечений являются рациональными для балок из пластичных материалов?

- Какие перемещения получают поперечные сечения балок при прямом изгибе?

- Что называется упругой линией балки?

- Какие виды перемещений получают поперечные сечения балки при изгибе балок?

- Что называется прогибом балки?

- Какая зависимость между прогибами и углами поворо­та сечений балки?

- На основании каких соображений точное дифференци­альное уравнение прогибов балки заменяется приближенным?

- Выведите дифференциальное уравнение упругой линии балки?

- Сколько произвольных постоянных вводится при интегрировании уравнения прогибов и как они определяются?

- Запишите основное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.

- Какими величинами характеризуется при поперечном изгибе жесткость балки?

- Как записывается приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки?

- Что называют упругой линией балки?

- Какая зависимость существует между радиусом кривизны упругой линии , изгибающим моментом М _х и жесткостью балки EJ _x?

 

- Эпюры строят для нахождения опасных сечений?

1) да;

2) нет;

3) для определения законов изменения внутренних силовых факторов, напряжений и перемещений.

 

- Что опаснее при анализе эпюр изгиба?

1) максимальный изгибающий момент;

2) поперечная сила;

3) и то, и другое.

 

- Что означает скачок на эпюре моментов?

1) изменение сечения;

2) наличие сосредоточенного момента;

3) приложение сосредоточенной силы.

 

- Для двухопорной балки необходимо определить в начале реакции опор, а затем строить эпюры?

1) да;

2) нет;

3) это зависит от конструкции балки.

 

- Знак изгибающего момента не зависит от внешних сил?

1) нет;

2) да;

3) при наличии сосредоточенного момента.

 

- В поперечном сечении балки возникли изгибающий момент и поперечная сила. Укажите вид изгиба?

1) чистый изгиб;

2) поперечный изгиб.

 

- Изменится ли величина и знак поперечной силы и изгибающего момента, если они будут вычислены по внешним силам, расположенным слева или справа от сечения?

1) изменится;

2) не изменится.

 

- Поперечные силы в сечении на расстоянии z от концов балок выражены уравнениями: ; . Какими линиями очерчены эпюры поперечных сил?

1) в обоих случаях наклонными прямыми линиями;

2) в первом случае – прямой, параллельной оси балки, во втором – прямой, наклонной к оси балки.

 

- Изгибающие моменты в сечении на расстояние z от концов балок выражены уравнениями: ; . Укажите какими линиями очерчены эпюры изгибающих моментов?

1) в обоих случаях наклонными прямыми линиями;

2) в первом случае – прямой, наклонной к оси, во второй – прямой, параллельной оси.

 

- Могут ли быть скачки на эпюре изгибающих моментов, если балка нагружена сосредоточенными силами и распределенной нагрузкой?

1) могут;

2) не могут.

 

- В каких единицах измеряется осевой момент инерции сечения?

1) м⁴;

2) м³;

3) м².

 

- Зависят ли значения нормальных напряжений от формы поперечных сечений балки?

1) зависит;

2) не зависит.

 

- Во сколько раз уменьшатся нормальные напряжения в прямоугольном сечении балки, если ее высота увеличится в два раза?

1) в два раза;

2) в четыре раза;

3) в восемь раз.

 

- По заданному изгибающему моменту при одинаковых допускаемых напряжениях были подобраны прямоугольные сечения балок в трех вариантах с разными соотношениями высоты h и ширины b: вариант I h: b =2; вариант II h: b =3; вариант III h: b =2,5. Какая из балок будет иметь наименьшую массу?

1) вариант I;

2) вариант II;

3) вариант III.

 

- Как изменится прогиб балки, если изгибающий момент уменьшить в три раза?

1) уменьшится в три раза;

2) уменьшится в шесть раз;

3) уменьшится в девять раз.

 

- Балки, изготовленные из стали и чугуна, имеющие одинаковые размеры и устройства опор, подвергаются действию одинаковых сил. сравните величину максимальных прогибов этих балок?

1) у стальной балки прогиб больше;

2) у чугунной балки прогиб больше;

3) прогиб балок одинаковый.

 

- Определите величину поперечной силы при изгибе данной балки.

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

 

- Какой вид деформации будет испытывать данная балка (см. рис. к предыдущему вопросу)?

1) поперечный изгиб;

2) продольно-поперечный изгиб;

3) чистый изгиб;

4) косой изгиб.

 

- Определите правильно построенную эпюру изгибающих моментов

- Укажите формулу для определения величины максимальных нормальных напряжений в опасном сечении балки

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

 

- В какой из указанных точек возникают наибольшие нормальные напряжения?

 

- По какой формуле вычисляют нормальные напряжения в этой точке (см. рис. к предыдущему вопросу)?

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

 

- В какой из указанных точек возникают наибольшие касательные напряжения?

 

- По какой формуле вычисляют касательные напряжения в этой точке (см. рис. к предыдущему вопросу)?

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

 

- На рисунке показана балка, нагруженная внешними силами. Построены эпюры внутренних усилий. Укажите участок или участки, на которых возможно разрушение по нормальным напряжениям.

 

1) А-В;

2) В-С;

3) C-D;

4) A-D.

 

- Укажите участок или участки, на которых происходит деформация чистого изгиба (см. рис. к предыдущему вопросу)?

1) А-В;

2) В-С;

3) C-D;

4) A-D.

 

- На рисунке показана балка, нагруженная внешними силами. Построены эпюры внутренних усилий. Укажите участок или участки, на которых есть опасность разрушения по касательным напряжениям.

 

1) А-В;

2) В-С;

3) C-D;

4) A-D.

 

- Укажите участок или участки, на которых происходит деформация поперечного изгиба (см. рис. к предыдущему вопросу)?

1) А-В;

2) В-С;

3) C-D;

4) A-D.

 

- Условие прочности по нормальным напряжениям при чистом изгибе:

 

- Формула Журавского для определения касательного напряжения при поперечном изгибе:

 

- Чему равна поперечная сила в сечении бруса, в котором изгибающий момент достигает экстремальных значений?

1. Поперечная сила в этом сечении бруса равна нулю.

2. Поперечная сила в этом сечении бруса равна следующему значению .

3. Поперечная сила тоже достигает экстремальных значений.

4. Поперечную силу в данном случае можно определить по формуле Журавского.