Основная терминология и классификация ферм. Применение расчетной схемы фермы

 

Классическая теория расчета ферм базируется на следующих допущениях:

1. Геометрические оси всех стержней идеально прямые;

2. В узлах геометрические оси стержней сходятся в одной точке;

3. Во все узлы установлены идеальные шарниры, то есть шарниры без трения;

4. Нагрузки приложены только в узлах в виде сосредоточенных сил;

В реальных фермах эти допущения, как правило, не выполняются, что вносит ошибку в расчет. Но эти ошибки несущественны и не учитываются, так как идут в запас надежности.

Ферма – это стержневая система, геометрическая неизменяемость которой обеспечена при шарнирном соединении концов стержней.

Рисунок 11 – Пример расчетной схемы фермы

Типы стержней фермы на рисунке 11:

1 Стержни образующие верхние и нижние границы фермы получили название поясные (1,2,3,4 – стержни верхнего пояса, 5,6,7,8 – стержни нижнего пояса);

2 Наклонные стержни, соединяющие верхний и нижний пояса называются раскосы (9,10,11,12 – раскосы);

3 Вертикальные стержни, соединяющие верхний и нижний пояса получили название стойки (13,14,15,16,17 – стойки).

Участки поясов между соседними узлами получили название панели (A, B, C, D – панели).

Узлы – места соединения концов стержней.

Совокупность стержней, соединяющих верхний и нижний пояса, получили название решетка (раскосые стойки в целом образуют решетку).

Фермы классифицируют по нескольким признакам:

1 По способу размещения опор:

а) Балочные фермы, у которых расстояние между опорами L значительно больше высоты h_ф фермы (рис. 12);

 

Рисунок 12 – Балочная ферма

б) Консольные фермы, у которых расстояние между опорами L значительно меньше высоты h_ф фермы (рис. 13);

 

Рисунок 13 – Консольная ферма

2 По типу решетки:

а) С треугольной решеткой, когда раскосы в соседних панелях наклонены в разные стороны (рис. 12).

б) С раскосой решеткой, когда раскосы в соседних панелях наклонены в одну сторону (рис 13).

в) С крестовой решеткой

Рисунок 14 – Ферма с крестовой решеткой

г) С V-образной решеткой

Рисунок 15 – Ферма с V-образной решеткой

 

д) С дополнительной решеткой

Рисунок 15 – Ферма с дополнительной решеткой

Дополнительную решетку еще называют шпренгель, а ферму с дополнительными решетками называют шпренгельными.

3 По очертанию поясов:

а) С параллельными поясами;

б) С ломаными поясами

г) С прямыми не параллельными поясами

 

7 Определение усилий в стержнях плоских ферм при действии неподвижной нагрузки

 

В инженерной практике нашли применение два основных метода: графический и аналитический, возможен так же смешанный метод

.

7.1 Графический метод

 

В основу графических методов положены известные утверждения теоретической механики о том что, если твердое тело под действием внешних сил находится в равновесии, то многоугольник, построенный из векторов этих сил, должен быть замкнутым.

На практике возможны два графических метода:

1 Метод вырезания узлов (метод Кульмана)

Он заключается в мысленном вырезании узлов фермы, приложении к разрезанным стержням неизвестных усилий и построении замкнутого силового многоугольника. При этом есть обязательное требование, чтобы в вырезаемом узле было не более двух неизвестных по величине, но известных по направлению сил.

Метод Кульмана не нашел своего применения из-за громоздкости.

2 Метод Максвелла – Кремоны

Он основан на совмещении разрозненных многоугольников Кульмана в компактную диаграмму, что оказалось возможным благодаря наличию равных сторон в многоугольниках Кульмана построенных для соседних узлов. Эта диаграмма получила название диаграмма Максвелла – Кремоны.

При ее построении используется специальная система обозначений усилий, в виде индексов полей.

 

7.2 Аналитические методы

 

В строительной механике существует два аналитических метода:

1 Метод вырезания узлов;

2 Метод сквозного сечения.

Идея обоих методов состоит в том, что если из фермы путем мысленного разрезания выделить ее часть и в разрезанных стержнях приложить неизвестное усилие, то эта часть будет находиться в равновесии, а потому для нее можно записать 3 уравнения статики:

(4)

 

7.2.1 Метод вырезания узлов

 

Состоит в том, что из фермы последовательно, мысленно вырезаются узлы, разрезанные стержни заменяются неизвестными усилиями, составляются и решаются 2 первых уравнения статики:

(5)

Так же накладываются условия: начинать расчет надо с узла, в котором сходится не более 2-х стержней с неизвестными усилиями.

Метод не нашел практического применения из-за того, что ошибка допущенная в начале расчета будет проходить через весь расчет.

От этого недостатка свободен метод сквозного сечения.

 

7.2.2 Метод сквозного сечения

 

Метод сквозного сечения состоит в том, что ферму мысленно разрезают на две части, то есть проводят сквозное сечение. Это сечение проводят так, чтобы в разрез обязательно попал интересующий нас стержень, но всего не более трех стержней. После этого одну часть фермы отбрасывают и рассматривают равновесие оставшейся части, при этом к разрезанным стержням прикладывают три неизвестных усилия.

Вводится понятие моментная точка или точка Риттера.

Моментная точка – это точка пересечения осей двух стержней попавших в сечение усилия, в которых определяются во вторую очередь.

Рисунок 16 – Расчет ферма методом сквозного сечения

Пусть необходимо определить усилие N_5-8, N_5-7, N_6-8, Проводим сквозное сечение І-І (рис. 16), отбрасываем левую и рассматриваем правую часть усеченной части.

Рисунок 17 – Определение усилия в стержне N_5-8

Для стержня 5-8 моментная точка отсутствует. Определим усилие N_5-8 составив уравнение статики

;

Для усилий N_5-7 моментная точка будет в узле 8, так как в этой точке пересекаются N_5-8 и N_6-8, поэтому достаточно записать уравнение суммы моментов относительно моментной точки.

Усилие N_5-8 и N_6-8 момента не дадут из-за отсутствия плеча, то есть момент будет только от искомого усилия и реакции.

;

.

Аналогично для усилия N_6-8 моментная точка будет в узле 5.

 

7.3 Особенности расчета пространственных ферм

 

Плоская ферма не устойчива, поэтому в металлоконструкциях не применяется, а используются исключительно пространственные фермы.

Простейшая пространственная ферма представляет собой элементарный тетраэдр, составленный из 6 стержней, и имеет 4 узла.

Рисунок 18 – Тетраэдр

Этот элементарный тетраэдр может быть развит в ферму любых размеров путем последовательного присоединения новых узлов с помощью 3-х стержней (рис 19).

Рисунок 19 – Простейшая пространственная ферма

Образованные таким образом фермы получили название простейшие. Фермы, полученные любым другим способом, называют сложные.

В простейших фермах существует однозначная зависимость между числом узлов и числом стержней. Эту зависимость можно получить путем следующих рассуждений. Пусть ферма имеет "n" стержней и "m" узлов. Это означает, что до элементарного тетраэдра было присоединено (m-4) узла, на это было затрачено 3(m-4) стержней. Если к этому числу добавить 6 стержней элементарного тетраэдра, то получим общее число стержней в ферме:

;

.

(6)

Можно легко показать, что если это условие выполнено, то ферма будет геометрически не изменяемой и статически определимой.

Для определения усилия в стержнях пространственных ферм можно применять те же аналитические методы, что и для плоских ферм (то есть метод вырезания узлов и метод сквозного сечения). Однако при этом необходимо записывать и решать 6 уравнений статики:

(7)

Однако такой метод отличается громоздкостью и трудоемкостью, поэтому на практике был предложен и широко применяется более простой метод - метод разделения пространственной фермы на плоские.

Общие рекомендации по этому методу следующие:

1 Из пространственной фермы мысленно выделяются плоские фермы обычно грани.

2 Используя конкретные конструктивные особенности и особенности нагружения пространственной фермы выделяют части общих нагрузок которые прикладывают к выделенным плоским фермам.

3 Далее применяют хорошо разработанные методы расчета плоских ферм.

При таком подходе все упрощения должны быть выполнены так, чтобы погрешность расчета увеличивала запас надежности конструкции.

 

Список литературы: [1] с.18...24, 31…36; [8] с.21...24; [10] с.146...150,
[12] с.150...178.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение расчетной схемы «ферма».

2. На каких допущениях базируется теория расчета ферм?

3. Какие типы стержней может содержит ферма? Покажите на примере.

4. Что такое узлы и панели? Покажите на примере.

5. Классификация ферм.

6. Отличие балочной фермы от консольной. Покажите на примере.

7. Приведите пример шпренгельной фермы. С какой целью вводятся дополнительные стержни?

8. Приведите пример фермы с ломаными поясами.

9. Какие методы определения усилий в стержнях ферм вы знаете?

10. Графические методы определения усилий в стержнях ферм (метод Кульмана и метод Максвелла-Кремоны). Их достоинства и недостатки.

11. Аналитические методы определения усилий в стержнях ферм (метод вырезания узлов и метод сквозного сечения).

12. Достоинства метода сквозного сечения перед методом вырезания узлов.

13. Сколько уравнений статики можно составить для плоской фермы?

14. Сколько уравнений статики можно составить для пространственной фермы?

15. Приведите пример простейшей пространственной фермы.

16. Способы определения усилий в стержнях пространственных ферм.

17. Приведите пример пространственной фермы.

18. Чем ферма отличается от рамы?

19. Какие усилия действуют в стержнях ферм?

20. Можно ли рассчитывать ферму по расчетной схеме «рама»?

 

8 Применение статически не определимых упругих систем в качестве расчетных схем инженерных сооружений

 

Статически не определимыми называют такие упругие системы, в которых число неизвестных опорных реакций и внутренних силовых факторов превышает число уравнений статики (для плоских систем 3, а пространственных 6).

Эти избыточные неизвестные получили название "лишние неизвестные". Их появление обусловлено тем, что на систему наложены "лишние связи".

Лишними называют связи, которые наложены на систему сверх минимально необходимых для геометрической неизменяемости и неподвижности закрепления.

В расчетных схемах металлоконструкций ПТСДМ чаще всего применяются следующие неопределимые системы:

1 Балки на многих опорах, так называемые "неразрезные балки"

Рисунок 20 – Балка на многих опорах

2 Фермы на многих опорах

Рисунок 21 – Ферма на многих опорах

3 Шпренгельные балки

Рисунок 21 – Шпренгельная балка

4 Фермы имеющие "лишние стержни" в решетке

Рисунок 22 – Ферма с "лишними стержнями" в решетке

5 Статически неопределимые рамы

Рисунок 23 – Статически неопределимая рама

В зависимости от того, какие факторы принимаются за неизвестные в строительной механике, разработаны три метода:

– метод сил;

– метод перемещений;

– смешанный метод.

 

8.1 Метод сил

 

Этот метод подробно изучался сопротивлением материалов, поэтому рассмотрим его отдельные, основные положения.

За неизвестные в этом методе принимаются силы (опорные реакции, изгибающие моменты, поперечные и продольные силы). Для определения неизвестных усилий составляются и решаются канонические уравнения метода сил.

Идея метода состоит в отбрасывании лишних связей и их замене неизвестными усилиями. Так если мы имеем "n" неизвестных усилий, которые обозначим через усилия x₁, x₂, x₃, …, x_i, …, x_n, то канонические уравнения метода сил будут иметь вид:

(8)

Физический смысл каждого из этих уравнений состоит в том, что суммарное перемещение по направлению любой отброшенной связи от неизвестных усилий и внешних нагрузок равны 0, потому что в действительности это суммарное перемещение является невозможным, ибо в его направлении наложена связь.

Входящие в эти уравнения коэффициенты получили название коэффициенты канонических уравнений метода сил, они также имеют физический смысл перемещений по направлению отброшенных связей, но от неизвестных приравненных к единице.

Например, δ_ij – представляет собой перемещение в отброшенной связи с индексом i от усилия равного единице с индексом j.

Свободные члены канонических уравнений также представляют собой перемещение по направлениям отброшенных связей, но от внешних нагрузок.

Например, Δ_iP - перемещение по направлению отброшенной связи с индексом i от внешней нагрузки Р.

Расчет по методу сил выполняется в следующей последовательности:

1 Составляется исходная расчетная схема, которая в методе сил получила название "заданная система".

2 Выбирается так называемая основная система путем отбрасывания лишних связей. В зависимости от того какие связи принимаются за лишние для одной и той же заданной системы может быть несколько основных систем. Основная система всегда статически определима.

3 В замен отброшенных связей прикладывают неизвестные опорные реакции и внутренние силовые факторы. После этого основная система превращается в так называемую "эквивалентную систему".

4 В эквивалентной системе заменяют неизвестные усилия на соответствующие единичные усилия.

5 Последовательно строятся эпюры от каждой введенной в пункте 4 единичной силы. Число единичных эпюр будет равно числу неизвестных.

6 Строятся эпюры силовых факторов от заданной нагрузки.

7 Перемножая по правилу Верещагина соответствующие эпюры от единичных сил между собой вычисляют коэффициенты канонических уравнений.

8 По тому же правилу Верещагина перемножается эпюра от внешней нагрузки на соответствующие эпюры от единичных сил, в результате чего вычисляются свободные члены канонических уравнений.

9 Составляются и решаются канонические уравнения метода сил, в результате чего получаем неизвестные усилия: x₁, x₂, x₃, …, x_n.

10 Неизвестные пересчитывают в эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил. При этом используются уже имеющиеся эпюры от единичных сил и внешней нагрузки.

Функции изгибающих моментов, поперечных и продольных сил во всех стержнях определяются по формулам:

; ; ,

(9) (10) (11)

 

где M(x), Q(x), N(x) - функции изгибающего момента, поперечной и продольной силы в зависимости от продольной координаты х (результатирующей функции);

M(x_i=1), Q(x_i=1), N(x_i=1) - функции изгибающего момента, поперечных и продольных сил в зависимости от координаты x от единичных усилий;

M(P), Q(P), N(P) - функции изгибающего момента, поперечной и продольной силы в зависимости от координаты x от внешних нагрузок.

 

8.2 Метод перемещений

 

Идея метода перемещений состоит в том, что за неизвестные принимаются не силы, а угловые и линейные перемещения характерных точек системы: z₁, z₂, z₃,…,z_n.

Вместо понятия "статическая неопределимость" вводится понятие "кинематическая неопределимость". За степень кинематической неопределимости принимается сумма неизвестных угловых и линейных перемещений:

.

(12)

В плоских стержневых системах число неизвестных угловых перемещений равно числу незакрепленных в плоскости жестких узлов. Например, для рис. 24 а, , для рисунка 24 б, .

а) б) Рисунок 24 – Определение числа угловых перемещений

Число неизвестных линейных перемещений определяется следующим образом:

1 Мысленно в каждый жесткий узел врезается шарнир, после чего система становится геометрически изменяемой, то есть превращается в механизм;

2 На эту шарнирную систему накладывают минимальное количество связей, чтобы сделать ее геометрически неизменяемой;

3 Число наложенных в пункте 2 связей и будет количеством неизвестных линейных перемещений.

а) б)

Рисунок 25 – Определение числа линейных перемещений

 

Степень кинематической неопределимости системы на рис. 24 а, , системы на рисунке 24 б, .

Основная система в методе перемещений получается не отбрасыванием лишних связей, а наоборот введением дополнительных искусственных связей ликвидирующих неизвестное перемещение.

Рисунок 26 – Схема расстановки неизвестных перемещений

 

Степень кинематической неопределимости системы на рис. 26,

Для получения основной системы метода перемещений необходимо "ликвидировать" все неизвестные перемещения путем установки искусственных заделок во все незакрепленные узлы и установки шарнирных стерженьков для ликвидации линейных перемещений.

Рисунок 27 – Основная система метода перемещений

 

Применяемые здесь заделки отличаются от общепринятых в сопромате, а именно: они запрещают поворот узла, но не запрещают его линейных перемещений вдоль x и y.

Эквивалентная система метода перемещений получается путем сообщения (придания) искусственно наложенным связям соответствующих перемещений неизвестных.

Рисунок 28 – Эквивалентная система метода перемещений

 

Накладывается также условие, что стержни могут только изгибаться и не могут деформироваться в осевом направлении.

После придания искусственно наложенным связям неизвестных перемещений в них возникнут реакции.

 

8.2.1 Канонические уравнения метода перемещений

 

Их составляют из условия, что суммарные реакции в искусственно наложенных связях после их смещения на величину неизвестных перемещений и приложения внешних нагрузок должны быть равны нулю, так как в действительности этих связей нет.

Суммарные реакции

(13)

где R_i(z_j) - реакция в искусственно наложенной связи с индексом i от неизвестного перемещения с индексом j;

R_i(P) - реакция в искусственно наложенной связи с индексом i от внешних нагрузок.

Слагаемые в этих уравнениях, кроме последних, можно выразить как произведения реакций вызванных единичным перемещением на фактическую длину перемещения:

(14)

 

где r_ij - реакция в искусственно наложенной связи с индексом i от неизвестного перемещения с индексом j равного 1.

Подставив выражение (2) в уравнение (1) получим окончательный вид канонических уравнений метода перемещений:

(15)

 

где r_ij – коэффициенты канонических уравнений по методу перемещений, их физический смысл состоит в том, что они представляют собой реакции в искусственно наложенных связях от соответствующих единичных перемещений.

Слагаемые R_i(P) получили название свободные члены канонических уравнений метода перемещений, их физический смысл состоит в том, что они представляют собой реакции в искусственно наложенных связях от внешней нагрузки.

Для вычисления коэффициентов канонических уравнений и свободных членов используются готовые решения для балок с защемленными концами, которые приводятся в справочниках.

В общем случае расчет статически неопределимых систем по методу перемещений проводится в следующей последовательности:

1 Составляется заданная система, это исходная расчетная схема, она ничем не отличается от той что была в методе сил;

2 Путем наложения искусственных связей, ликвидирующих все неизвестные перемещения, получают основную систему метода перемещений;

3 Путем придания искусственно наложенным связям соответствующих перемещений и приложения внешней нагрузки получают эквивалентную систему метода перемещений;

4 Составляются канонические уравнения метода перемещений;

5 Вычисляются коэффициенты и свободные члены канонических уравнений, при этом используются готовые решения для балок с защемленными концами из справочника;

6 Решают систему канонических уравнений, в результате чего вычисляют неизвестные перемещения;

7 Вычисленное перемещение пересчитывают в неизвестные силовые факторы (моменты, поперечные и продольные силы), при этом также обязательно используются готовые решения для балок с защемленными концами.

 

8.3 Достоинства и недостатки статически неопределимых систем по сравнению со статически определимыми

 

Основным преимуществом статически неопределимых систем является их более равномерно распределенные по элементам силовые факторы (рис. 29).

Рисунок 29 – Эпюры моментов статически определимой и статически неопределимой балок

 

Однако им присущ целый ряд недостатков, а именно:

1 Чувствительность к неточности монтажа, когда неточности выполнения размеров элементов компенсируются деформациями элементов при монтаже. В этом случае в конструкции возникает напряжение до приложения внешних нагрузок, которые при проектировании не учитываются.

2 Они чувствительны к просадке опор.

Рисунок 30 – Деформация неразрезной балки при просадке одной из опор

 

3 Они чувствительны к изменениям температуры. Когда тепловые деформации стесняются связями, что вызывает тепловые напряжения в элементах.

Рисунок 31 – Деформация защемленного стержня при изменении температуры

 

4 Сложность выполнения проектных расчетов, так как для определения размеров элементов необходимо знать внутренние силовые факторы, а для их определения, кроме внешних нагрузок, нужны еще и жесткости элементов, которые еще в свою очередь зависят от размеров. Обычно на практике в таких случаях предварительно задаются размеры.

 

9 Основа расчета инженерных сооружений на жесткость

 

Расчет на жесткость обычно состоит в том, что вычисляют упругие перемещения в характерных точках сооружения и затем сравнивают с предельно допустимыми. Например, для мостовых кранов за такую точку принимается середина пролета, предельно допустимый прогиб его приведен в справочниках, он составляет:

(16)

У башенных кранов контролируется вертикальное перемещение конца стрелы.

Для определения упругих перемещений в стержневых системах в строительной механике получена универсальная формула, которая получила название формула Мора.

 

9.1 Универсальная формула Мора для определения перемещений в стержневых упругих системах

 

Если система имеет в своем составе “n” стержней, то перемещение заданной точке “с”, в заданном направлении “∆”, от заданной нагрузки определяется формулой Мора, которая получена в сопротивлении материалов:

(17)

где l – длины стержней;

M_p, N_p, Q_p – функции изменения изгибающих моментов, продольных и поперечных сил по длине стержней от заданной нагрузки;

M₁, N₁, Q₁ – функции изменения изгибающих моментов продольных и поперечных сил по длине стержней, от безразмерной единичной нагрузки (единичной силы или единичного момента), приложенных в точке c в направлении перемещения ∆c;

E, G – модули упругости первого и второго рода, для стали: МПа, МПа;

I, F – моменты инерции и площади поперечных сечений стержней соответственно;

x – текущая координата положения сечения по длине стержней;

k – так называемый коэффициент формы сечения (для прямоугольника k=1,2; для круга ; для двутавров и швеллеров k равняется отношению площади всего сечения к площади стенки)..

 

9.2 Вычисление интегралов Мора по правилу Верещагина

 

В реальных системах сечение по длине стержня не меняется, тогда величины жесткостей , , , можно вынести за знаки интегралов, тогда формула (1) примет вид:

(18)

В этих интегралах под интегралами стоят произведения двух функций. Одна функция, полученная из рассмотрения состояния заданного нагружения, а вторая – из единичного нагружения.

Поскольку единичное нагружение образуется единичной силой или единичным моментом, эпюры, от которых всегда линейны, то в подынтегральных выражениях вторая функция всегда линейна. Это обстоятельство позволяло предложить упрощенную методику вычисления интегралов Мора, путем перемножения эпюр получившее название правило Верещагина.

Согласно этому правилу интеграл Мора равен произведению площади эпюры от внешней нагрузки на ординату эпюры от единичной силы, взятую под центром тяжести первой эпюры. Площади и положения центров масс для типовых эпюр изгибающих моментов приведены на рисунке 32

(19)

 

Рисунок 32 – Перемножение эпюр по правилу Верещагина

 

В сопротивлении материалов и строительной механике существуют готовые таблицы результатов перемножения эпюр различных форм.

 

9.3 Частные случаи формулы Мора

9.3.1 Формула Мора для балок

 

В балках основным внутренним силовым фактором является изгибающий момент, а поперечные и продольные силы практически не оказывают влияния на прогиб, а потому ими можно пренебречь. Тогда в формуле Мора остается только первый интеграл. Кроме того, поскольку балка есть единичный стержень, то знак суммы будет отсутствовать, тогда формула Мора для балок примет вид:

(20)

 

9.3.2 Формула Мора для ферм

 

В стержнях ферм при правильном проектировании действуют только продольные силы, а изгибающие моменты и поперечные силы отсутствуют. Тогда в формуле Мора останется только второй интеграл. Кроме того, продольные силы всегда постоянны по длине стержней, а потому произведение N_p умноженное на N₁ можно вынести за знак интеграла, а интеграл:

.

Тогда формула Мора для ферм получит вид:

(21)

Расчет по этой формуле рекомендуется проводить в форме таблицы. Число строк в этой таблице всегда равно числу нагруженных стержней фермы.

 

Таблица 1 – Результаты расчета перемещений концов стержней фермы по формуле Мора

Тип стержня	Обозначение стержня	F, м2	l, м	Усилие, кН
Np	N1
Верхний пояс
Нижний пояс

 

Для вычисления искомого перемещения необходимо сложить все цифры в графе 7.

 

 

9.4 Определение прогиба ферм как прогибов эквивалентных балок

 

Определение прогиба ферм по формуле Мора в виде таблицы отличается значительной трудоемкостью, а потому был предложен приближенный метод определения прогиба ферм как прогибов эквивалентных балок.

Эквивалентной называют такую балку, у которой прогиб в данном сечении такой же, как и у фермы при том же пролете и тех же нагрузках. Задача состоит в определении момента инерции эквивалентных балок, после чего для вычисления балок можно воспользоваться формулой Мора для балок.

Поскольку прогиб фермы определяется деформациями поясных стержней и стержней решетки, было предложено определять момент инерции эквивалентной балки как момент инерции поясов деленный на коэффициент , учитывающий влияние решетки:

.

Величина коэффициента зависит от конструкции решетки, и на практике можно принимать .

Рассмотрим поперечное сечение фермы, состоящее из одних поясов.

 

Рисунок 33 – Поперечное сечение фермы

Обозначения на рис. 33:

x_в.п – x_в.п – собственная нейтральная ось сечения верхнего пояса;

x_н.п – x_н.п – собственная нейтральная ось сечения нижнего пояса;

x₀ – x₀ – нейтральная ось всего сечения;

a, b – расстояние нейтральной оси всего сечения до нейтральных осей, собственных, поясов.

Момент инерции всего сечения будет равен:

.

(22)

Практика показывает, что собственные моменты инерции крайне незначительны и ими можно пренебречь, тогда получим:

(23)

Рассматривая расстояние a и b как координаты всего сечения относительно осей x_в.п – x_в.п и x_н.п – x_н.п получим для них следующие выражения:

(24)

Подставляя формулы (2) в выражение (1) после преобразований получим окончательное выражение для моментов инерции поясов:

.

(25)

 

10 Решение задач строительной механики на ЭВМ методом конечных элементов (МКЭ)

 

В общем случае решение задач строительной механики состоит в определении внутренних силовых факторов, напряжений и деформаций нагруженных расчетных схем. Однако все методы, которые разработаны для этой цели в строительной механике и сопротивлении материалов предназначены для ручного расчета (с помощью калькулятора). Это обусловлено тем, что эти методы требуют творческого участия человека исполнителя, который заключается в анализе промежуточных результатов и внесение изменений в дальнейший расчет, то есть требуют мышления. ЭВМ в отличие от человека не может мыслить, но она может выполнять однотипные математические операции с огромной скоростью и без ошибок, поэтому для того чтобы использовать в расчетах ЭВМ необходимо разработать такие методы, при которых сложный арифметический расчет превратился бы в выполнение однотипных математических операций. При этом число таких операций может быть как угодно большим. Именно с этой целью в строительной механике разработан универсальный метод, получивший название метод конечных элементов (МКЭ).

Благодаря своей универсальности и высокой точности МКЭ нашел всемирное признание. В настоящее время все виды прочностных, жесткостных и других расчетов во всех отраслях выполняется исключительно по методу конечных элементов. Особенно в таких отраслях как самолетостроение, ракетостроение, судостроение и в последнее время и в краностроении.

 

10.1 Идея метода конечных элементов

 

Идея МКЭ состоит в мысленном разделении монолитных конструкций на элементы конечных размеров и соединение их в отдельных точках. После этой процедуры получают так называемую расчетную схему МКЭ. Таким образом, исходная расчетная схема заменяется дискретной расчетной схемой МКЭ.

Рассмотрим эту идею на примере расчета тупикового упора для мостового крана.

 

 

Рисунок 34 – Пример разбивки упора на конечные элементы

 

Конечность размеров элементов и дало название методу.

В общем случае, очевидно, что дискретная расчетная схема МКЭ представляет собой статически неопределимую систему и для ее раскрытия можно применить как метод сил, так и метод перемещений. Однако для ЭВМ более удобным оказался метод перемещений.

Процедура разделения монолитной конструкции на элементы конечных размеров получила название «дискретизация расчетной схемы». Эта процедура по своей сути для конструкции любой конфигурации при любых конфигурациях нагрузок, что и придает МКЭ универсальность.

Отличие в расчете конструкции разных форм заключается лишь в использовании разных типов элементов и разных способов их соединения между собой. В качестве конечных элементов применительно к расчету металлоконструкций ПТМ и СДМ используется стержень – плоский элемент прямоугольной и треугольной формы.

Очевидно, что расчетная схема МКЭ слабее исходной. Таким образом, МКЭ в общем случае это приближенный метод, в погрешности которого идет в запас надежности расчета. Также очевидно, что чем большим числом конечных элементов аппроксимируется исходная расчетная схема и чем в большем количестве точек элементы соединены между собой, тем точнее будет расчет.

 

 

10.2 Краткая характеристика МКЭ

 

После процедуры дискретизации исходная расчетная схема превращается в статически неопределимую систему, для решения которой принимается метод перемещений. В качестве неизвестных используются перемещения (угловые и линейные), которые принято обозначать z₁, z₂, z₃,..., z_n. В примере с тупиковым упором в качестве неизвестных можно принять линейное перемещение узлов.

Рисунок 35 – Расчетная схема с приложенными усилиями и неизвестными перемещениями

 

Для определения неизвестных перемещений составляются и решаются канонические уравнения метода перемещений. Однако, эта система несколько отличается от общепринятой в методе перемещений. Это отличие состоит в том, что свободные члены переносят в правую часть, так как они представляют собой нагрузки, взятые со знаком минус. Это возможно благодаря тому, что внешние нагрузки в МКЭ должны быть приложены только в узлах. Таким образом, канонические уравнения МКЭ в общем виде будут иметь вид:

.

(26)

Для удобства использования ЭВМ эти уравнения принято записывать в матричной форме:

(27)

Первая слева матрица получила название матрица жесткости для всей конструкции. Элементы этой матрицы имеют физический смысл реакций в искусственно наложенных связях, ликвидирующих неизвестные перемещения от неизвестных перемещений равных единице.

P_i – внешняя сила, которая приложена в направлении неизвестного перемещения с индексом i.

Для вычисления элементов матрицы жесткости всей конструкции используется готовое решение для конечных элементов различных типов. Эти готовые решения получены методом теорий упругости и представлены в матричной форме для конкретных типов элементов, эти матрицы хранятся в памяти ЭВМ. В результате решения канонических уравнений вычисляются неизвестные перемещения, которые затем пересчитываются во внутренние силовые факторы и напряжения. При этом вновь используются готовые матрицы жесткости для элементов.

 

10.3 Представление исходной информации для расчета исходной системы на ЭВМ по методу конечных элементов

 

Рассмотрим процесс на примере металлоконструкции мостового крана при ее нагружении в горизонтальной плоскости. Эта конструкция представляет собой стержневую систему, состоящую из стержней постоянного сечения жестко соединенных между собой (рис 36.).

Рисунок 36 – Расчетная схема моста крана по методу конечных элементов

 

Исходная информация составляется в следующей последовательности:

1 Выбирается глобальная система координат для всей конструкции XOY. При этом необходимо стремиться к тому, чтобы вся конструкция оказалась в первом квадрате;

2 Разделяем конструкцию на элементы конечных размеров, которые соединяем в отдельных точках. В качестве конечных элементов здесь принимаем стержень постоянного сечения. Концы стержней соединяем между собой жестко (сваркой);

3 Производится нумерация конечных элементов и узлов арабскими цифрами, при этом нумерации стержней берутся в кружочек. Элементы должны выбираться так, чтобы все внешние нагрузки оказались в виде сосредоточенных сил в приложенных узлах;

4 Составляется таблица координат узлов способов соединения конструкций с неподвижным основанием и внешних нагрузок (таблица 2);

5 Составляется таблица, характеризующая связи элементов между собой, наличие равномерно распределенной нагрузки, а также геометрические характеристики сечений и модули упругостей материалов (таблица 3).

 

Список литературы: [1] с.44...47, с.74...83; [2] с.98...103; [7] с.3...22.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение статически неопределимой системы. Приведите пример.

2. Что такое "лишние связи"?

3. Какие схемы статически неопределимых систем чаще всего применяются в конструкциях ПТСДМ?

4. На какие нагрузки работает статически неопределимая рама?

5. Какие методы раскрытия статической неопределимости вы знаете?

6. Что принимается за неизвестные в методе сил?

7. В чем состоит идея метода сил?

8. Поясните физический смысл канонических уравнений метода сил.

9. Как определить степень статической неопределимости по методу сил?

10. Поясните физический смысл коэффициенты канонических уравнений метода сил.

11. Как вычисляются коэффициенты канонических уравнений и свободные члены по методу сил.

12. Последовательность расчета статически неопределимых систем по методу сил.

13. Что такое основная и эквивалентная система по методу сил? Приведите пример.

14. В чем состоит идея метода перемещений?

15. Что принимается за неизвестные в методе перемещений?

16. Поясните понятие "кинематическая неопределимость".

17. Как находится количество линейных и угловых перемещений?

18. Что такое основная система метода перемещений, приведите пример.

19. Чем отличаются применяемые заделки метода перемещений от общепринятых в сопромате?

20. Какой физический смысл канонических уравнений метода перемещений?

21. Какой физический смысл коэффициентов канонических уравнений метода перемещений?

22. Как находятся коэффициенты канонических уравнений и свободные члены? Покажите на примере.

23. Достоинства и недостатки статически неопределимых систем.

24. Что такое жесткость системы?

25. В чем состоит расчет на жесткость?

26. Что такое формула Мора?

27. Что такое правило Верещагина? Где и в какой ситуации оно используется?

28. Какие особенности формулы мора для Ферм?

29. Дайте определение эквивалентной балки.

30. Как определяется прогиб фермы по методу эквивалентной балки?

31. Что такое метод конечных элементов?

32. С какой целью он был разработан?

33. В чем состоит идея МКЭ?

34. Что такое конечный элемент?

35. Что такое дискретизация расчетной схемы?

36. Что принимается за неизвестные в МКЭ?

37. Общий вид канонических уравнений МКЭ.

38. В чем заключается особенность приложения нагрузки в МКЭ?

39. Какая исходная информация необходима при расчете по МКЭ?

11 Основы расчета инженерных сооружений при действии подвижных нагрузок

 

Действию подвижных нагрузок подвергаются металлические конструкции таких сооружений: мостовые и козловые краны, крановые эстакады, железнодорожные и автомобильные мосты, мостовые перегружатели. Обычно подвижная нагрузка представляет собой систему параллельных связанных между собой сосредоточенных сил. Такая подвижная нагрузка в строительной механике получила название «поезд» (рис. 36).

Рисунок 36 – Система подвижных сил

 

При перемещении «поезда» по сооружению в нем непрерывно будут изменяться опорные реакции и внутренние силовые факторы в элементах. Очевидно, что для правильного расчета сооружения на прочность необходимо знать опорные реакции и внутренние силовые факторы при любом положении «поезда», что представляет собой весьма сложную задачу.

Для решения этой задачи в строительной механике разработан универсальный метод, который получил название «метод линий влияния».

 

11.1 Идея метода линий влияния

 

Идея метода линий влияния состоит в том, что задача определения искомого фактора при действии неподвижной нагрузки решается в 2 этапа. Под искомым фактором будут пониматься:

– опорные реакции;

– поперечные и продольные силы;

– изгибающие моменты в элементах сооружения.

Этапы решения:

I На первом этапе расчета не принимается во внимание не количество подвижных нагрузок, не их конкретные величины, не расстояние между ними (параметры «поезда»). Вся подвижная нагрузка заменяется одним безразмерным грузом;

Рисунок 37 – Замена системы подвижных сил единичной силой

 

Вводится новое понятие «линия влияния». Линией влияния искомого фактора X называется график зависимости этого фактора от координаты x положения единичного груза на сооружении. То есть, линия влияния – график некоторой функции:

.

Построением линии влияния заканчивается первый этап расчета.

II На втором этапе осуществляется возврат к фактическим нагрузкам, причем как к подвижным, так и неподвижным. Определяются искомые факторы от фактических нагрузок (подвижных, неподвижных, распределенных) с помощью линии влияния. При этом используется известный принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции). Искомый фактор получается умножением каждой фактической нагрузки на соответствующие ординаты линии влияния с последующим суммированием результата. При этом подвижную нагрузку делают неподвижной, но ее устанавливают в особое положение, так называемое, «расчетное положение».

Расчетным называют положение подвижной нагрузки, при котором искомый фактор получает наиболее неприятные значения.

 

11.2 Общий принцип построения линий влияния

 

Поскольку линия влияния это график, то для его построения необходимо каким-либо способом определить координаты нескольких точек (для прямой линии достаточно 2-х точек). Для этого составляется аналитическая зависимость искомого фактора от координаты единичного груза на сооружении в виде формулы (1), для чего используются методы теоретической механики.

Рассмотрим этот принцип на конкретных сооружениях для конкретных искомых факторов.

 

11.3 Построение линий влияния опорных реакций, поперечных сил и изгибающих моментов для простых балок

Рисунок 38 – Линии влияния для простых балок

 

Линии влияния опорных реакций

Для получения аналитических зависимостей опорных реакций R_A и R_B от координаты x воспользуемся уравнениями равенств нулю суммы моментов всех сил относительно опор B и A.

 

;

.

;

;

;

.

 

В этих формулах x имеет первую степень, а потому и графики будут прямые линии (см. рис. 38).

Линии влияния поперечной силы

Из сопромата известно, что поперечная сила в данном сечении балки, есть сумма проекций всех сил, взята по одну сторону от сечения, на перпендикуляр в данном сечении к нейтральной оси балки. При этом поперечная сила имеет знак плюс, когда она поворачивает балку относительно данного сечения по часовой стрелке и знак минус при повороте против часовой стрелки.

Для получения аналитического выражения рассмотрим 2 случая:

1 Единичный груз находится справа от сечения c. Проецируем на перпендикуляр все силы слева:

;

.

2 Единичный груз слева от сечения, проецируем все силы справа от сечения:

;

.

Линии влияния изгибающего момента

Для получения аналитического выражения изгибающего момента также существует 2 случая:

1 Груз справа

;

.

2 Груз слева

;

.

 

Таким образом, ординаты линии влияния изгибающего момента определяются путем умножения ординат линии влияния соответствующих опорных реакций на постоянные коэффициенты a и b. На графике величины a и b откладываются в принятом масштабе длины, где a и b расстояние до сечения c, заданного, от левой и правой опоры соответственно.

 

11.4 Построение линии влияния усилий в стержнях балочных ферм

 

Для построения линии влияния необходимо получить аналитические выражения усилий в соответствующих стержнях в зависимости от координаты x – положения единичного груза на ферме. Для этого воспользуемся аналитическими методами определения усилия в стержнях плоских ферм, то есть методом вырезания узлов и методом сквозных сечений. На практике чаще всего используется метод сквозных сечений.

Рассмотрим этот вопрос на конкретных примерах.

 

11.4.1 Построение линии влияния в стержнях балочных ферм с треугольной решеткой

 

Пусть имеем балочную ферму с треугольной решеткой, показанной на рис. 39.

Рисунок 39 – Линии влияния для балочной фермы с треугольной решеткой

 

Пусть необходимо построить линии влияния усилия в стержнях, нижнего пояса N_3-5, верхнего пояса N_4-6, раскоса N_3-6 и стоек N_3-4, N_7-8. Предварительно строим линии влияния опорных реакций R_A и R_B, как для простой балки.

 

11.4.1.1 Линия влияния усилия в стержне нижнего пояса N_3-5

 

Проводим сквозное сечение I–I, для стержня 3–5 моментная точка будет находиться в узле 6. Для получения аналитического выражения рассмотрим 2 случая:

1 Единичный груз двигается справа от разрезанной панели (от узла 6 до узла 10). Рассматриваем равновесие левой отсеченной части, запишем уравнение всех сумм моментов сил, действующих на эту часть относительно моментной точки 6.

;

.

Таким образом, груз движется справа от разрезанной панели линия влияния. Линия влияния реакции R_A, ордината которой умножена на постоянный коэффициент .

2 Единичный груз движется слева от разрезанной панели. Рассматриваем равновесие правой отсеченной части, записываем уравнение суммы моментов относительно той же точки 6.

;

.

Таким образом, для построения линии влияния необходимо ординаты линии влияния линии R_B умножить на коэффициент .

 

11.4.1.2 Линия влияния в стержне пояса N_4-6

 

Воспользуемся тем же сквозным сечением I–I. Для стержня 4–6 моментная точка будет в узле 3. Для получения аналитического выражения также рассмотрим 2 случая:

1 Единичный груз движется справа от разрезанной панели. Составляем уравнение суммы моментов относительно моментной точки для левой отсеченной части фермы:

;

.

Таким образом, пока груз с права от сечения для построения искомой линии влияния необходимы ординаты реакции R_A умножить на и взять с обратным знаком.

2 Единичный груз движется слева от разрезанной панели, составляем сумму моментов относительно моментной точки для правой отсеченной части фермы:

;

.

Таким образом, для построения искомой линии влияния необходимо взять со знаком минус линию влияния опорной реакции R_B и все ординаты умножить на коэффициент .

 

11.4.1.3 Линия влияния усилия в раскосе N_3-6

 

Этот стержень также попал в сквозное сечение I – I. Однако моментная точка для этого стержня отсутствует, поэтому для получения аналитического выражения воспользуемся уравнением сумм проекций всех сил на ось y для каждой отсеченной части.

Так же будем рассматривать 2 случая:

1 Единичный груз движется справа от разрезанной панели (от точки 6 до 10), запишем уравнение для левой отсеченной части:

;

.

Таким образом, пока груз движется справа линия влияния усилия в раскосе определяется линией влияния реакции R_A c обратным знаком, все ординаты которой умножены на .

2 Единичный груз движется слева от разрезанной панели, сумма проекций всех сил, действующих на правую отсеченную часть, на ось y будет равна:

;

.

Таким образом, для линии влияния ординаты реакции R_B необходимо умножить на с тем же знаком.

 

11.4.1.4 Линии влияния в пределах разрезанной панели

 

Поскольку все линии влияния за пределами разрезанной панели имеют линейное очертание, то и линии влияния в пределах разрезанной панели должны быть прямыми линиями. В строительной механике они получили название «переходные прямые», для их построения необходимо крайние ординаты разрезанной панели (y_л и y_п) соединить прямыми линиями.

 

11.4.1.5 Линии влияния для стоек (стержни 1–2, 7–8, 3–4, 5–6, 9–10)

 

Мысленно вырезая узлы 1 и 9, и проектируя все силы на ось y, можно сказать, что линии влияния усилий в стержнях 1–2 и 9–10 полностью определяются линиями влияния опорных реакций R_A и R_B с обратным знаком.

Из условия равновесия узла 5 можно сказать, что стержень 5–6 нулевой.

Для построения линии влияния усилий в стойках 3–4, 7–8 рассмотрим стержни верхнего пояса как балки, которые свободно оперты на узлы 2, 4, 6, 8, 10. Для этих балок построим линии влияния опорных реакций опор в узлах 4 и 8. Они и будут линиями влияния в стойках N_3-4 и N_7-8.

 

11.4.2 Особенности построения линии влияния усилий в стержнях балочных ферм с раскосой решеткой

Рисунок 40 – Линии влияния усилий в стержнях балочных фермы с раскосной решеткой

 

Пусть необходимо построить линию влияния усилия в стойке 5, 6 для фермы показанной на рисунке. Способ получения аналитических выражений остается таким, как и для ферм с треугольной решеткой, поэтому методика построения линии влияния для поясных стержней и раскосов остается такой же, как и для фермы с треугольной решеткой.

Основное отличие построения линии влияния для ферм с раскосой решеткой состоит в методе построения линии влияния усилий в стойках. Для получения аналитических выражений усилия в стойке, в данном случае необходимо проводить специальные сквозные сечения. Например, для стойки 5, 6 проводим сквозное сечение I–I. Моментная точка для стержня 5–6 отсутствует, поэтому для получения аналитического выражения воспользуемся уравнением равенства нулю суммы проекций на ось y всех сил, действующих на отсеченную часть. Также как и в предыдущем случае рассмотрим 2 случая:

1 Единичный груз движется справа от разрезанной панели, рассмотрим левую отсеченную часть.

Груз справа

;

;

.

2 Единичный груз слева

;

;

.

Таким образом, линия влияния в стойке полностью определяется опорными реакциями. Очевидно, что для построения линии влияния усилия в стойке 3–4 необходимо провести сквозное сечение II–II, а в стойке 7–8 –III–III. Все остальные рассуждения остаются прежними.