Производные второго и высших порядков

Производная от первой производной, если она существует, называется второй производной или производной второго по­рядка.

Обозначение: y``_x = d²y/dx² (де два игрек по де икс дважды).

Пример: у = Зх²+2х-1

Производная I порядка : у_х' = 3 * 2х + 2 * 1- 0 = 6х + 2

Производная II порядка: у_х" = 6 * 1 + 0 = 6

Физический смысл I производной есть мгновен­ная скорость: υ = dS/dt

Физический смысл II производной есть ускорение: a = dυ = d²S/dt²

Точно так же, как производная второго порядка, находятся производные высших порядков (производная от производной пре­дыдущего порядка, если она существует).

Пример: у = х⁶ + е^х

y`_x = dy/dx = 6x⁵ + e^x, y``_x = d²y/dx² = 30x⁴ + e^x, y```_x = d³y/dx³ = 120x³ + e^x,

у_x^IV = d⁴y/dx⁴ = 360х²+е^х, у_х^V = d⁵y/dx⁵ =720х + е^х, у_x ^VI = d⁶y/dx⁶ = 720 +е^x…

С помощью производных первого и второго порядков можно исследовать поведение некото­рых функций.

Возрастание и убывание функции

Если первая производная функции в данном промежутке значений положительна, то функция возрастает, а если первая производ­ная отрицательна, то функция убывает.

П р и м е р: у = 2х² + 4х + 5, у_х' = 4х + 4

При 4х + 4 > 0 т.е. х > -1 функция возрастает,

4х + 4< 0 т.е. х < -1 функция убывает.

При х = -1, у = 2(-1)² + 4(-1) + 5 = 3. В точке х = -1 функция имеет ми­нимальное значение (min).

Точки минимальных и максималь­ных значе­ний функции называются точками экстре­мума.

Исследование функций на экстремум.

У одной функции может быть несколько экстре­мальных точек (т.е. точек max и min).

Функция имеет максимум при х = а, если первая производ­ная в точке равна 0 и при всех х, достаточно близких к а, вы­полняется неравенство f(a) > f(x).

Функция имеет минимум при х = а, если первая производная в точке равна 0 и при всех х, достаточно близких к а, выполняется неравенство f(a) < f(x).

Пример: у = х²+1

1. у'_х = 2х

2. y`_x = 2х = 0

х = 0 - точка экст­ремума.

3. а) у(0) = 0² + 1 = 1

б)у(-1) = (-1)²+1 = 2

в)у(1)= 1²+ 1 =2

y(0) < y (±1), следо­вательно в точке х = 0, функция имеет min.

 

Второе правило нахождения максимумов и минимумов

Если первая производная равна 0 в точке х = а, а вторая производная f'(а) < 0, то в этой точке максимум, а если f'(a)> О, то в этой точке минимум.

Это правило используется тогда, когда вторая производная f'(x) не равна нулю.

Дифференциал функции

Пусть дана функция у = f(x). По определению ее производная

y`_х = lim_∆x→0∆y/∆x

Естественно, сама производная у`_х всегда отлича­ется от от­ношения ∆y/∆x на какую - то малую величину α.

∆y/∆x = y`_x + α. Найдем отсюда ∆у: ∆у = у'_х ∆х + α∆х

Так как величина α∆х ввиду малости α и очень мала, то ею можно пренебречь, поэтому назы­вают главным приращением функции или дифференциалом функции и обозначается dy; т.е. dy = y_x'∆x. Дифференциал аргумента равен его приращению: dx = ∆х, тогда

dy = y`<sub>x</sub>dx, а y`_x = dy/dx

Первая производ­ная равна отношению диф­ференциала функ­ции к дифференциалу аргу­мента.

Из чертежа CD = AC tg α₁, AC = ∆x, a tgα = y`_x (геометри­ческий смысл производ­ной), тогда CD = у'_x dx, но y_x'dx = dy;

CD = dy

Таким образом, дифференциал есть приращение ординаты касательной, соответствующей приращению аргумента ∆х.