Графические модели некоторых пространственных кривых и их изобразительные свойства

12.7.1 Комплексный чертёж цилиндрической винтовой линии

( рис.12.53)

 

Так как цилиндрическая винтовая линия а принадлежит поверхности фронтально-проецирующего цилиндра Ф, то её фронта-льная проекция а₂ совпадает с вырожден-ной в окружность проекцией Ф₂ этой поверх-ности, а её горизонтальная проекция а_1, по-строение которой графически моделирует процесс её образования, представляет собой один период синусоиды.

Цилиндрическая винтовая линия явля-ется пространственной кривой одинакового ската, так как касательные во всех её точках равнонаклонены к плоскости основания её цилиндра.

Отсюда следует, что на прямоугольнике развертки боковой поверхности цилиндра Ф винтовая линия будет выглядеть как его ди-агональ или гипотенуза прямоугольного тре-угольника, длина прилежащего катета кото-рого равна длине окружности основания цилиндра, а противолежащий катет равен шагу винта.

Угол j ° между гипотенузой этого треу-гольника и прилежащим катетом называется углом подъёма винта, а длина гипотенузы называется витком цилиндрической гелисы.

Так как сечения цилиндра Ф соприка-сающимися плоскостями есть конгруэнтные эллипсы, то, определив для одного из них значение радиусов А₀О_А и В₀О_В в точках А и В как концах его малой оси, откладываем эти значения на П₂ по радиальным напра-влениям от точек проекции а₂ и получаем фронтальную проекцию е₂ эволюты гелисы в виде окружности

Горизонтальная проекция е₁ этой линии является синусоидой, ортогонально сопря-

женной с синусоидой а₁, так как в точках А₁ и 4₁ их пересечения проекция b₁ бинормали

b, перпендикулярная к t₁, является карате-льной к е₁ и наоборот.

Правила графического моделирования

цилиндрических винтовых линий применя- ются при проектировании различного вида

 

Рис.12.53. Графическая модель цилиндрической винтовой линии

 

 

Рис.12.54. Графическая модель конической винтовой линии

 

 

12.7.2. Комплексный чертёж конической винтовой линии (рис. 12.54)

 

Принцип построения чертежа конической винтовой линии остаётся таким же, как и цилиндрической винтовой линии.

В результате её горизонтальной проек-цией является спираль Архимеда, а фрон-тальной – «затухающая синусо-ида»(рис.12.54).

На развёртке Ф₀ поверхнос-ти конуса Ф коническая гелиса

выглядит как дуга спирали Ар-химеда, так как, начиная от вер-шины, каждая последующая её точка смещается относительно предыдущей на постоянную ве-личину в 1/12 часть длины об-разующей, последовательные положения которой смещаются при этом на 1/12 часть длины окружности основания.

Если на развертке поверх-ности конуса вычертить логами-фмическую спираль b₀, пересе-кающую развертки образующих под постоянным углом j°, а затем свернуть развёртку в коническую поверхность, то эта спираль преобразуется в кони-ческую винтовую линию одина-кового ската.

Горизонтальной проекцией этой линии будет логарифмическая спи-раль, а фронтальной – затухающая сину-соида.

Конические гелисы применяются при проектировании различных шнеков, буров, режущих инструментов, шурупов и др.

Комплексные чертежи пространственных кривых линий на сферических поверхностях

 

12.7.3. Комплексный чертёж локсодромии

(рис. 12.55)

 

Графическое моделирование локсо-дромии или сферической винтовой линии следует начинать с построения её го-ризонтальной проекции в виде логариф-мической спирали вида: [ 6]

l = tga× ln r,

r - радиус-вектор спирали,

l - долгота точки на сфере (считая

от какого-либо начального мери-

диана);

a - заданный угол между локсодро-

мией и меридианами.

Фронтальную проекцию локсодромии следует строить на основе правил графи-

ческого моделирования отношения

Рис. 12.55. Графическая модель сферической винтовой линии (локсодромии)

 

принадежности её точек к сферической поверхности. Представляет собой затуха-ющую к полюсам сферы кривую линию типа синусоиды.

Так как ортодромия или брахистохро-на является дугой окружности большого круга, то её ортогональными проекциямибудут дуги эллипсов (см. п.12.5.2).

Рис.12.56. Геометрическая модель

сферической линии одинакового ската

на полусфере

 

Рис.12.57. Графическая модель сферической линии одинакового ската

 

 

12.7.4. Комплексный чертёж сферической линии одинакового ската

(рис.12.57)

Графическое моделирование этой ли-нии (см. определение12.19, рис. 12.56) следует начинать с пост-роения её горизонтальной про-екции а₁, представляющей со-бой рулетту - эпициклоиду (см рис.12.10), образующая точка которой расположена на под-вижной окружности-центроиде, радиус которой в три раза ме-ньше радиуса неподвижной центроиды.

Фронтальная проекция а₂ этой линии строится на основе правил графического моделирования отно-шения принадлежности её точек к сфериче-ской поверхности.

В произвольной точке А ли-нии а одинакового ската нор-маль n имеет радиальное на-правление, а взаимно-перпен-дикулярные касательная t и би-нормаль b, продолженные до пересечения с плоскостью П₁, образуют равнобедренный тре-угольник АВС спрямляющей плоскости s.

Линия одинакового ската сферы может быть принята за ребро возврата некоторой тор-совой поверхности, образующи-ми которой являются каратель-ные t.

 

 

В о п р о с ы

д л я п о в т о р е н и я:

 

1. Что называется кривой ли-нией?

2. Каков принцип образования кривой линии?

3. Какие кривые линии называются глад-кими?

4. Какими бывают особые точки кривых линий?

5. Какие линии называются касатель-ными и нормалями данной кривой линии?

6. Что такое кривизна кривой?

7. Какая линия называется эволютой дан- ной кривой и как она образуется?

8. Какие прямые и плоскости образуют

сопровождающий трёхгранник Френе для данной пространственной кривой?

9. Каковы системные определения окру-жности, эллипса, параболы и гиперболы?

10. Какие кривые линии называются ру-леттами?

11. Какова конструктивная пространст-венная природа фокусов и директрис-элли-псов, гипербол и парабол?

12. Каковы основные конструктивные свойства окружности, эллипса, гиперболы и параболы?

13. Какая линия называется подэрой дан-ной кривой относительно данной точки?

14. Какие точка и прямая относительно окружности называются соответственно по-люсом и полярой?

15. Какими конструктивными элемента-ми и как может быть задан эллипс?

16. При каких условиях эллипс можно назвать «золотым» и каковы его конструк-тивные свойства?

17. Как образовать гиперболу аппаратом центрального подвижного проецирования?

18. Как образовать эллипс и гиперболу при помощи подэры?

19. При каких условиях гиперболу можно назвать «золотой» и каковы её конструк-тивные свойства?

20. Каковы конструктивные свойства гра-фических композиций из золотых сопряжен-ных гипербол и золотых софокусных эллип-са и гиперболы?

21. Какими конструктивными элемен-тами и как может быть задана гипербола?

22. При помощи какой подэры можно одновременно построить параболу и её эволюту?

23. Каковы изобразительные свойства ортогональных проекций окружности, элли-пса, гиперболы и параболы различных по-ложений в пространстве?

24. Какая линия называется цилиндри-ческой винтовой и каковы её конструк-тивные свойства?

25. Какая линия называется конической винтовой и каковы её конструктивные свойства?

26. Что собою представляют эволюты ци-линдрической и конической винтовых ли-ний?

27. Какие линии на сфере называются её параллелями, меридианами, ортодромией и локсодромией?

28. Каковы изобразительные свойства ортогональных проекций цилиндрической и конической винтовых линий?

 

29. Каковы изобразительные свойства ортогональных проекций локсодромии и сферической линии одинакового ската?