Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики

Уровни ряда динамики формируются под влиянием взаимодействия многих факторов, одни из которых, будучи основными, главными, определяют закономерность, тенденцию развития, другие — случайные — вызывают колебания уровней. Изучая ряды динамики, пытаются разделить эти компоненты и выявить основную закономерность развития явления в отдельные периоды, т.е. выявить общую тенденцию в изменении уровней рядов, освобожденную от действия случайных факторов. С этой целью (устранить колебания, вызванные случайными причинами) ряды динамики подвергают обработке. Существует несколько методов обработки рядов динамики: метод укрупнения интервалов, метод скользящей средней и аналитическое выравнивание. Во всех методах вместо фактических уровней при обработке ряда рассчитываются иные (расчетные) уровни, в которых взаимопогашается действие случайных факторов и тем самым уменьшается колеблемость уровней. Уровни в результате становятся как бы «выравненными», «сглаженными» по отношению к исходным фактическим данным. Такие методы обработки рядов называются сглаживанием или выравниванием рядов динамики.

Метод укрупнения интервалов.

Простейший метод сглаживания уровней ряда — укрупнение интерваловвремени, для которых определяется итоговое значение или средняя величина исследуемого показателя. Этот метод особенно эффективен, если первоначальные уровни ряда относятся к коротким промежуткам времени. Например, если имеются данные о ежесуточной погрузке грузов по какой-либо железной дороге за месяц, то в таком ряду возможны значительные колебания уровней, так как чем меньше период, за который приво­дятся данные, тем больше влияние случайных факторов.

Чтобы устранить это влияние, рекомендуется укрупнить интервалы времени, например до 5 или 10 дней, и для этих укрупненных интервалов рассчитать общий или среднесуточный объем погрузок (соответственно по пятидневкам или декадам). В ряду с укрупнен­ными интервалами времени закономерность изменения уровней будет более наглядной.

Метод скользящей средней

В данном случае фактические уровни заменяются средними уровнями, рассчитанными для последовательно подвижных (скользящих) укрупненных интервалов, охватыва­ющих т уровней ряда.

Например, если принять т = 3, то сначала рассчитывается средняя величина из первых трех уровней, затем находится средняя величина из второго, третьего и четвертого уровней, потом из тре­тьего, четвертого и пятого и т.д., т.е. каждый раз в сумме трех уровней появляется один новый уровень, а два остаются прежними. Это и обусловливает взаимопогашение случайных колебаний в средних уровнях. Рассчитанные из т членов скользящие средние относятся к середине (центру) каждого рассматриваемого интервала.

Сглаживание методом скользящей средней можно проводить по любому числу членов т, но удобнее, если т — нечетное число, так как в этом случае скользящая средняя сразу относится к конкретной временной точке — середине (центру) интервала. Недостатком метода скользящей средней является то, что сглаженный ряд «укорачивается» по сравнению с фактическим с двух концов: при нечетном т на с каждого конца, а при четном — на т/2 с каждого конца. Этот метод сглаживает (устраняет) лишь случайные колебания. Если же, например, ряд содержит сезонную волну, она сохранится и после сглаживания.

Метод скользящей средней и укрупнения интервалов являются механическими, эмпирическими и не позволяют выразить общую тенденцию изменения уровней в виде математической модели.

Аналитическое выравнивание.

Более совершенный метод обработки рядов динамики в целях устранения случайных колебаний и выявления тренда. Суть аналитического выравнивания заключается в замене эмпирических (фактических) уровней y_i теоретическими ,которые рассчитаны по определенному уравнению, принятому за математическую модель тренда, где теоретические уровни рассматриваются как функция времени:

Задача аналитического выравнивания сводится к следующему:

• определение на основе фактических данных вида (формы) гипотетической функции способной наиболее адекватно отразить тенденцию развития исследуемого показателя;

• нахождение по эмпирическим данным параметров указанной функции (уравнения);

• расчет по найденному уравнению теоретических (выравненных) уровней.

Виды функций, с помощью которых можно описать поведение рядов динамики были рассмотрены в теме «Изучение корреляционных взаимосвязей». Выбор той или иной функции для выравнивания ряда динамики осуществляется, как правило, на основании графического изображения эмпирических данных, дополняемого содержательным анализом особенностей развития исследуемого показателя (явления) и специфики разных функций. Определенную вспомогательную роль при выборе аналитической функции играют также механические приемы сглаживания (укрупнение интервалов и метод скользящей средней). Частично устраняя случайные колебания, они помогают более точно определить тренд и выбрать адекватную модель (уравнение) для аналитического выравнивания. Кроме того, существуют некоторые условия, которыми полезно руководствоваться при выборе функции. Так, например, выравнивание по прямой линии (линейной функции) y_t = а₀ + a₁ t эффективно для рядов, уровни которых изменяются примерно в арифметической прогрессии, т.е. когда первые разности уровней (абсолютные приросты более или менее постоянны.

Параметры искомых уравнений при аналитическом выравнивании могут быть определены по-разному. Чаще всего их определяют, решая систему уравнений, полученных методом наименьших квадратов.

Выравнивание по линейной функции y_t = а₀ + a₁ t.

Способ получения параметров этого уравнения был рассмотрен выше. Но для рядов динамики расчеты можно упростить, если отсчет времени вести от середины ряда. Например, при нечетном числе уровней серединная точка (год, месяц) принимается за ноль, тогда предшествующие периоды обозначаются соответственно -1, -2, -3, и т. д., а следующие за средним – соответственно +1, -2, -3 и т. д. При четном числе уровней два серединных момента (периода) времени обозначаются -1 и +1, а все последующие и предыдущие, соответственно через два интервала: и т. д.

При таком порядке отсчета времени . Поэтому система уравнений упрощается до двух уравнений, каждое их которых решается самостоятельно:

.

Изучая и анализируя ряды динамики, стремятся на основе выявленных особенностей изменения явлений в прошлом предугадать поведение рядов в будущем, т.е построить различные прогнозы путем экстраполяции (продления) рядов.

Экстраполяцию ряда динамики можно осуществить различными способами. Однако независимо от применяемого способа экстраполяции обязательно предполагается, что закономерность (тенденция) изменения, выявленная для определенного периода в прошлом, сохранится на ограниченном отрезке времени в будущем. Поэтому любому прогнозированию в виде экстраполяции ряда должно предшествовать тщательное изучение длительных рядов динамики, которое позволило бы определять тенденцию изменения. Поскольку тенденция развития также может изменяться, то данные, полученные путем экстраполяции ряда, надо рассматривать как вероятностные, то есть своего рода оценки.

Приемы экстраполяции рядов динамики, помогающие прогнозировать те или иные показатели:

1. Если при анализе ряда динамики обнаруживается, что абсолютные приросты уровней примерно постоянны, можно рассчитать средний абсолютный прирост (как среднюю арифметическую) и последовательно прибавить его к последнему уровню ряда столько раз, на сколько периодов экстраполируется ряд.

2. Если за исследуемый ряд лет (или другие периоды) годовые коэффициенты роста остаются более-менее постоянными, можно рассчитать средний коэффициент роста и умножить последний уровень ряда на средний коэффициент роста в степени, соответствующей периоду экстраполяции.

3. Учитывая, что между изменениями нескольких показателей существует зависимость, можно экстраполировать один ряд динамики на основе сведений об изменении второго ряда, связанного с ним. Например, определив зависимость между изменением объема капитальных вложений и объемом выпускаемой продукции в, можно экстраполировать данные о производстве продукции на основе данных о намеченных капиталовложениях;

4. Можно экстраполировать ряды на основе выравнивания их по определенной аналитической формуле. Зная уравнение для теоретических уровней, и подставляя в него значения t за пределами исследованного ряда, можно рассчитать для данных t вероятностные уровни y_i. Этот метод можно использовать, только если сумма фактических уровней ряда отличается от суммы теоретических значений не более чем на 5%.

Экономическое прогнозирование невозможно без хорошего знания изучаемого явления и владения различными методами обработки динамических рядов, которые в каждом отдельном случае помогли бы обнаружить общую закономерность изменения, периодичность в повышении или снижении уровней (если она имеет место), случайные колебания и корреляцию между отдельными рядами.

Пример. Построить динамический ряд, используя 12 и более уровней. Проанализировать, используя аналитические и средние показатели. Провести выравнивание, используя метод скользящей средней и аналитическое выравнивание. На основе полученного уравнения проэкстраполировать уровни ряда динамики на 2-3 уровня вперед.

Рассмотрим данные о вводе в действие жилых домов (тыс. кв. м.) за 2009 год. То есть ряд является интервальным. В 1-ую расчетную таблицу внесем исходные данные и аналитические показатели заданного ряда динамики.

Таблица 6. Расчетная таблица аналитических показателей ряда динамики.

№	Месяц	уровень ряда	Абсолют.	прирост	Темп	роста	Темп	прироста	Абсолсодер. 1% при-роста
t		у	цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный	А
	янв	3,358
	фев	12,003	8,645	8,645	357,44%	357,44%	257,44%	257,44%	0,034
	март	14,232	2,229	10,874	118,57%	423,82%	18,57%	323,82%	0,120
	апр	13,767	-0,465	10,409	96,73%	409,98%	-3,27%	309,98%	0,142
	май	10,72	-3,047	7,362	77,87%	319,24%	-22,13%	219,24%	0,138
	июнь	8,882	-1,838	5,524	82,85%	264,50%	-17,15%	164,50%	0,107
	июль	3,981	-4,901	0,623	44,82%	118,55%	-55,18%	18,55%	0,089
	авг	16,05	12,069	12,692	403,17%	477,96%	303,17%	377,96%	0,040
	сент	15,17	-0,88	11,812	94,52%	451,76%	-5,48%	351,76%	0,161
	окт	11,606	-3,564	8,248	76,51%	345,62%	-23,49%	245,62%	0,152
	нояб	9,936	-1,67	6,578	85,61%	295,89%	-14,39%	195,89%	0,116
	дек	20,534	10,598	17,176	206,66%	611,49%	106,66%	511,49%	0,099
Итого		140,239	17,176

Уровни ряда и его аналитические показатели варьируют, и возникает необходимость в исчислении средних показателей:

Средний уровень ряда тыс. кв. м. То есть в среднем в месяц в 2009 году строилось 11,69 тыс. кв. м. жилой площади.

Средний абсолютный прирост тыс. кв. м. То есть в среднем за месяц площадь строящегося жилья увеличивалась на 1,56 тыс. кв. м.

Средний темп роста , то есть в среднем в месяц застраиваемая площадь увеличивалась в 1,18 раз.

Средний темп прироста , то есть в среднем в месяц застраиваемая площадь увеличивалась на 17,89%.

Проведем выравнивание методом скользящей средней, взяв по 3 уровня ряда, и аналитическое выравнивание. Вычисления сведем во 2-ую расчетную таблицу.

Таблица 7. Выравнивание методом скользящих средних и аналитическое выравнивание.

Месяц	уровень ряда y	Трехчленные скользящие суммы	трехчленные скользящие средние	ti	ti2	ti*yi	Теоретический уровень ряда
янв	3,358			-11		-36,938	8,416
фев	12,003	29,593	9,864	-9		-108,027	9,011
март	14,232	40,002	13,334	-7		-99,624	9,606
апр	13,767	38,719	12,906	-5		-68,835	10,200
май	10,72	33,369	11,123	-3		-32,16	10,795
июнь	8,882	23,583	7,861	-1		-8,882	11,389
июль	3,981	28,913	9,638			3,981	11,984
авг	16,05	35,201	11,734			48,15	12,579
сент	15,17	42,826	14,275			75,85	13,173
окт	11,606	36,712	12,237			81,242	13,768
нояб	9,936	42,076	14,025			89,424	14,362
дек	20,534					225,874	14,957
Итого	140,239					170,055	140,239

Аналитическое выравнивание проведем по прямой: y_t = а₀ + a₁ t.

Параметры уравнения для приведенных данных равны:

.

То есть уравнение прямой, представляющее собой трендовую модель искомой функции: . Подставляя в полученное уравнение последовательно значения t, находим выравненные уровни ряда динамики (последняя колонка в таблице).

Так как сумма фактических уровней ряда равна сумме теоретических значений, можно сделать прогноз о строительстве жилой площади на январь, февраль и март 2009 года:

январь = 11,69 + 0,279 * 13 = 15,317 тыс. кв. м.

февраль = 11,69 + 0,279 * 15 = 15,875 тыс. кв. м.

март = 11,69 + 0,279 * 17 = 16,433 тыс. кв. м.

На рис. 4 изображены данные исходного ряда, ряд, выравненный методом скользящей средней и ряд, выравненный по прямой линии (аналитическое выравнивание).

 

 

Среди методов статистического анализа особое и весьма важное место занимает индексный метод. Слово «индекс» (index)в переводе с латинского означает показатель, указатель. В статистике под индексом понимается относительная величина, характеризующая соотношение значений определенного показателя во времени, пространстве, а также сравнение фактических данных с планом или иным нормативом.

В зависимости от базы сравнения индексы можно подразделит на динамические (отражающие изменение явления во времени) и территориальные (используемые для пространственных, межрегиональных сопоставлений различных показателей).

Показатель, изменение которого характеризуется индексом, называют индексируемой величиной, содержится в назва­нии самого индекса, например: индекс цен, индекс заработной платы, индекс физического объема продукции и т.д.

Индексный метод имеет свою терминологию и символику. Обычно используются следующие обозначения индексируемых величин:

q — количество (объем) какого-либо товара, продукции в натуральном выражении; р — цена единицы товара;

pq — стоимость продукции, или товарооборот;

с (или z) — себестоимость единицы продукции;

t — затраты времени на производство единицы продукции, трудоемкость;

w — выработка продукции в единицу времени или на одного работника (производительность труда);

Т = tq — общие затраты времени на производство продукции или численность работников;

у — урожайность отдельных сельскохозяйственных культур;

П (или S) — посевная площадь под отдельными культурами и т.д.

Поскольку индексы рассчитываются путем сравнения значений определенного показателя за два периода, то, чтобы различать, к какому периоду относятся индексируемые величины, возле каждого символа справа ставятся подстрочные знаки: 0 — для базисного периода (база сравнения) и 1 — для отчетного (текущего) периода.

Если же рассчитываются индексы для ряда периодов, то обычно каждая индексируемая величина, отнесенная к определенному периоду, снабжается его подстрочным символом. Например, данные о количестве произведенного продукта за пять лет можно обозна­чить как.