Характеристики центру розподілу: середня, мода, медіана, їх взаємозв’язок

Завданням середньої величини є характеристика рівня ознаки одним числом у всіх одиниць однорідної сукупності, в яких розмір ознаки коливається або варіює.

Середня величина - це узагальнюючий показник, що характеризує рівень варіюючої ознаки в якісно однорідній сукупності.

Середня величина - це узагальнююча характеристика сукупності явищ за ознакою, що варіює, тобто це узагальнюючий показник, який характеризує типовий рівень ознаки, що варіює, в розрахунку на одиницю однорідної сукупності.

Середня арифметична – використовується для усереднення прямих значень ознак шляхом їх підсумовування. Якщо дані не згруповані:

 

де - варіанти, тобто значення ознаки, що осереднюється для i- ої одиниці сукупності;

n – число одиниць у сукупності.

За формулою середньої арифметичної простої обчислюються також середні у хронологічному ряду, якщо інтервали часу, за який подаються значення ознак, рівні. Якщо у хронологічному ряду наведені моментні показники, то для обчислення середньої вони замінюються півсумами значень на початок і кінець періоду.

Середня геометрична визначається як добуток відносних величин динаміки, які є кратним співвідношенням -го значення показника до попереднього (-1). Формула середньої геометричної простої, де - символ добутку; - число осереднюваних величин.

.

У інтервальних рядах, припускаючи рівномірний розподіл у межах -го інтервалу, як варіантвикористовують середину інтервалу. При цьому ширину відкритого інтервалу умовно вважають такою ж, як і сусіднього закритого інтервалу.

Мода (Мо) – значення варіанти, яке найчастіше повторюється в ряду розподілу. У дискретних рядах моду легко відшукати візуально, безпосередньо за найбільшим значенням частоти або частки.

В інтервальному ряду за тим самим принципом визначається модальний інтервал, тобто інтервал, частота якого має найбільше значення. Якщо треба більш точно встановити модальний рівень, його обчислюють за формулою:

 

, (4.6.1)

 

де Мо – мода;

х _Мо – нижня межа модального інтервалу;

h _Mo – ширина модального інтервалу;

f _Mo – частота _{модального} інтервалу;

f _{Mo – 1} – _{частота} попереднього (перед модального) інтервалу;

f _{Mo + 1} – частота наступного (після модального) інтервалу.

Слід зауважити, що ця формула використовується для інтервальних варіаційних рядів з рівними інтервалами.

Медіана (Ме) – варіанта, що ділить упорядкований варіаційний ряд на дві, рівні за обсягом частини. Наприклад, якщо в ряді розподілу робітників за віком Ме = 30, це означає, що половина робітників мають вік менше 30 років, половина – старші за цей вік.

Визначаючи медіану, використовують кумулятивні частоти S_fi або частки S_di. У дискретному ряду медіанним буде значення ознаки, кумулятивна частота якого перевищує половину сукупності, тобто S_fi ≥ 0,5å f_i (для кумулятивної частки S_di ≥ 0,5).

Кумулятивні частоти визначаються доданням наступного значення частоти до суми значень попередніх частот. При цьому не має значення які інтервали у варіаційному ряді розподілу: рівномірні чи нерівномірні.

В інтервальному ряду за цим принципом визначають медіанний інтервал.

Значення медіани, як і значення моди, обчислюють за інтерполяційною формулою:

, де Ме – медіана;

х_Ме – нижня межа медіанного інтервалу;

h_Me – ширина медіанного інтервалу;

0,5å f _i – половина сукупності;

S _{fMe - 1} – сума накопичених частот до медіанного інтервалу;

f _Ме – частота медіанного інтервалу.