Практическое занятие

Тема: Элементарные преобразования матриц. Базисный минор. Ранг матрицы и его вычисление. Обратная матрица, её нахождение. Матричные уравнения, их решение.

Элементарными преобразованиями матрицы называются:

1) перестановка строк (столбцов); 2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число; 4) вычёркивание нулевой строки (столбца).

Матрицы и , полученные одна из другой в результате элементарных преобразований называются эквивалентными и пишут ~ .

Обратной к квадратной матрице называется матрица того же порядка такая, что: , где - единичная матрица (на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю). Обратная матрица всегда существует для невырожденных матриц. Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель .

Основными методами вычисления обратной матрицы являются:

Метод присоединённой матрицы. Если -невырожденная матрица, то , где - присоединённая матрица, для которой: . Здесь - алгебраические дополнения элементов матрицы .

Метод элементарных преобразований. Для матрицы порядка строится прямоугольная матрица размера приписыванием к справа единичной матрицы. Далее, с помощью элементарных преобразований над строками, матрица приводится к виду , что всегда возможно, если - невырожденная.

Матричными называются уравнения: , , , где матрицы - известны, матрица - неизвестна. Если матрицы , -невырожденные, то решения матричных уравнений записываются, соответственно, в виде: , , .

В задачах 1.45-1.52 найти обратную матрицу для матриц:

1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 1.50 1.51 1.52

В задачах 1.53-1.58 решить матричные уравнения.

1.53 1.54 1.55 1.56 1.57а) б)

1.58а) б)

Минором -ого порядка матрицы называется определитель квадратной матрицы порядка , образованной элементами матрицы , стоящими на пересечении произвольно выбранных её строк и столбцов . Максимальный порядок отличных от нуля миноров матрицы , называется её рангом и обозначается или , а любой минор порядка , отличный от нуля – базисным минором.

Основным методом вычисления ранга матрицы является метод элементарных преобразований. Метод основан на том факте, что элементарные преобразования матрицы не меняют её ранга. Используя эти преобразования, матрицу всегда можно привести к виду , когда все элементы, расположенные ниже элементов , будут равны нулю. Базисный минор такой матрицы имеет порядок , и, следовательно, ранг матриц и равен .