Общие понятия теории очередей

Ожидание того или иного вида обслуживания является частью нашей повседневной жизни. Мы ожидаем, чтобы пообедать в ресторане, мы стоим в очереди к кассам в магазинах и выстраиваемся в очередь в почтовых отделениях. Очередь возникает практически во всех присутственных местах: налоговых инспекциях, паспортных столах, страховых компаниях и пр. Феномен ожидания характерен не только для людей: работы, поставленные в очередь для выполнения; группа пассажирских самолетов, ожидающих разрешения на посадку в аэропорту; автомобили, движение которых приостановлено сигналом светофора на пути их следования, грузовые суда, ожидающие погрузки/разгрузки в порту, и т.п.

Изучение очередей в системах массового обслуживания (СМО) озволяет определить критерии функционирования обслуживающей системы, среди которых наиболее значимыми являются среднее время ожидания в очереди и средняя длина очереди. Эта информация используется затем для выбора надлежащего уровня обслуживания, что продемонстрировано в следующем примере.

Пример 2.6.1. Физические лица, сдающие декларацию о доходах, жалуются на медленное обслуживание. В настоящее время в данном подразделении работают три налоговых инспектора. В результате расчетов, формулы для которых мы рассмотрим ниже, обнаружена следующая зависимость между числом инспекторов и временем ожидания обслуживания.

Число инспекторов 1 2 3 4 5 6 7

Среднее время ожидания 80.2 50.3 34.9 24.8 14.912.9 9.4

______ (минуты) _______________________________________

Приведенные данные свидетельствуют о том, что при работающих в настоящее время трех инспекторах среднее время ожидания обслуживания примерно равно 35 минут. По мнению посетителей, приемлемо было бы 15 минут ожидания. Как следует из этих же данных, среднее время ожидания становится меньше 15 минут, если число инспекторов больше или равно пяти.

Затраты на обслуживание в единицу времени   Оптимальный уровень обслуживания

Результаты исследования системы обслуживания также можно использовать для оптимизации модели со стоимостными характеристиками, в которой минимизируется сумма затрат, связанных с предоставлением услуг, и потерь, обусловленных задержками в их предоставлении. На рис. 2.6.1 изображена типичная стоимостная модель системы обслуживания, где затраты на обслуживание возрастают с ростом его уровня. В то же время потери, обусловленные задержками в предоставлении услуг, уменьшаются с возрастанием уровня обслуживания.

Потери клиентов от ожидания в единицу времени

Уровень обслуживания

Рис. 2.6.1

Главной проблемой, связанной с применением стоимостных моделей, является трудность оценки потерь в единицу времени, обусловленных задержками в предоставлении услуг.

Задачи массового обслуживания возникают в том случае, когда заявки на обслуживание (или требования) не могут быть выполнены в силу занятости обслуживающего персонала (оборудования) или сама обслуживающая система оказывается бездействующей в силу отсутствия заявок. При моделировании данных задач используются фундаментальные понятия теории вероятности, т.к. случайными оказываются поток требований или длительность времени обслуживания, или и то и другое. При решении этих задач приходится определять либо оптимальное число обслуживающих каналов, либо оптимальную скорость потока (или находить моменты поступления заявок).

Класс моделей, пригодных для решения подобных задач, называют еще теорией очередей.

Эта теория представляет особый раздел теории случайных процессов и использует, в основном, аппарат теории вероятностей. Первые публикации в этой области относятся к 20-м гг. XX в. и принадлежат датчанину А. Эрлангу, занимавшемуся исследованиями функционирования телефонных станций – типичных СМО, где случайны моменты вызова, факт занятости абонента или всех каналов, продолжительность разговора. В дальнейшем теория очередей нашла развитие в работах К.Пальма, Ф.Поллачека, А.Я.Хинчина, Б.В.Гнеденко, А.Кофмана, Р.Крюона, Т. Cаати и других отечественных и зарубежных математиков.

При решении задач, связанных с очередями, возможны две ситуации:

а) число заказов слишком велико; имеет место большое время ожидания (недостаточный объем обслуживающего оборудования);

б) поступает недостаточное число заказов; имеет место простой оборудования (избыток оборудования).

Необходимо найти оптимальное соотношение между потерями, вызванными простоем оборудования, и потерями из-за ожидания.

В качестве основных элементов СМО следует выделить входной поток заявок, очередь на обслуживание, cистему (механизм) обслуживания и выходящий поток заявок. В роли заявок (требований, вызовов) могут выступать покупатели в магазине, телефонные вызовы, поезда при подходе к железнодорожному узлу, вагоны под разгрузкой, автомашины на станции техобслуживания, самолеты в ожидании разрешения на взлет, штабель бревен при погрузке на автотранспорт. Роль обслуживающих приборов (каналов, линий) играют продавцы или кассиры в магазине, таможенники, пожарные машины, взлетно-посадочные полосы, экзаменаторы, ремонтные бригады.

По характеру случайного процесса, происходящего в СМО, различают системы марковские и немарковские.

Случайный процесс называется марковским, если для любого момента времени t вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние. Рассмотренные ниже модели относятся к марковским системам.

В случае немарковских процессов задачи исследования СМО значительно усложняются и требуют применения статистического моделирования, численных методов с использованием ЭВМ.