Раздел 4. Кривые И ПОВЕРХНОСТИ второго порядка

Таблица 4.1. Канонические уравнения кривых второго порядка

Окружность
каноническое уравнение	уравнение с центром в точке (x o, y o)	параметрические уравнения
x 2 + y 2 = R 2	(x - x o)2 + (y - y o)2 = R 2
R - радиус окружности
Эллипс
каноническое уравнение	уравнение с центром в точке (x o, y o)	параметрические уравнения
Параметры: a, b - полуоси (a > b) a - большая полуось b – малая полуось	c - фокусное расстояние e - эксцентриситет t – параметр	Основные соотношения: c 2 = a 2 - b 2; e = ; 0 £ e < 1
Гипербола
каноническое уравнение:	уравнение с центром в точке (x o, y o):	параметрические уравнения:	уравнения асимптот:
Параметры: a, b - полуоси a - действительная полуось b - мнимая полуось	c – фокусное расстояние e – эксцентриситет t – переменный параметр	Основные соотношения: c 2 = a 2 + b 2; e = ; e > 1
Парабола
каноническое уравнение: y 2 = 2 px	Уравнение с вершиной в точке (x o, y o): (y - y o)2 = 2 p (x - x o)	уравнение директрисы: x = p /2
p – параметр

 

 

Таблица 4.2. Свойства кривых второго порядка

Наименование	Эллипс	Гипербола	Парабола
Чертеж: M – текущая точка, r, r 1, r 2 - фокальные радиусы	Y	y	y
Координаты фокусов	F 1(– c, 0), F 2(+ c, 0)	F 1(– c, 0), F 2(+ c, 0)	F (p/ 2, 0)
Каноническое уравнение			y 2 = 2 px
Элементы симметрии	Две оси симметрии и центр симметрии	Две оси симметрии и центр симметрии	Одна ось симметрии
Вершины	Четыре вершины	Две вершины	Одна вершина
Фокальные радиусы	r 1 = a + ex r 2 = a - ex	r 1 = ex + a r 2 = ex - a	r = + x
Фокальное свойство	r 1 + r 2 = 2 a	| r 1 - r 2| = 2 a	r = d
Директриса			x = - p/ 2
Оптическое свойство	Световые лучи, исходящие из одного фокуса, после отражения от эллиптического зеркала концентрируются в другом фокусе.	Световые лучи, исходящие из одного фокуса, после отражения от гиперболического зеркала кажутся исходящими из другого фокуса.	Световые лучи, исходящие из фокуса, после отражения от параболического зеркала образуют пучок, параллельный оси симметрии.

 

Таблица 4.3. Преобразование декартовой прямоугольной

системы координат на плоскости

Поворот осей координат относительно начала координат: Обозначения: j - угол поворота (x, y) - координаты точки в исходной системе координат (x¢, y¢) - координаты точки в повернутой системе координат r = - радиус-вектор точки в исходной системе координат r¢ = - радиус-вектор точки в повернутой системе координат Матрица поворота: T j = , = T - j = Зависимость между координатами в матричной форме: r = T j r¢, r¢ = T - j r и с помощью системы уравнений: ;

Параллельный перенос осей координат: Обозначения: (x o, y o) - координаты начала координат перенесенной системы в исходной (x¢, y¢) - координаты точки в исходной системе координат (x², y²) - координаты точки в перенесенной системе r o = - радиус-вектор начала координат перенесенной системы в исходной r¢ = - радиус-вектор точки в исходной системе r² = - радиус-вектор точки в перенесенной (новой) системе координат Зависимость между координатами точки в исходной системе и перенесенной (новой) системе в матричной форме: r¢ = r² + r o, r² = r¢ - r o и с помощью системы уравнений: ,

 

 

Таблица 4.4. Нахождение матрицы поворота к главным

направлениям квадратичной формы

Исходные данные: F (x, y) = a 11 x 2 + 2 a 12 xy + a 22 y 2 - квадратичная форма A = - матрица квадратичной формы

¯

Составление характеристического уравнения и его решение: | A - l E | = 0 или = 0; l1 и l2 - корни характеристического уравнения

¯

Подстановка корней характеристического уравнения l1 и l2 в матричное уравнение Ar = l r или в систему уравнений . Примечание. Уравнения системы являются линейно зависимыми, поэтому следует использовать одно из них.

¯

Вычисление собственных векторов r 1 = и r 2 = . Примечания. 1. При вычислении собственных векторов r 1 и r 2 одна из координат этих векторов задается произвольно. 2. Поскольку векторы r 1 и r 2 ортогональны, то ×условие r 1× r 2 = 0 можно использовать для контроля правильности вычислений.

¯

Нормирование собственных векторов: e 1 = r 1, e 2 = r 2.

¯

Составление матрицы поворота к главным направлениям квадратичной формы: T j = || e 1| e 2|| = . Примечания. 1. Направления векторов e 1 и e 2 рекомендуется выбирать такими, чтобы диагональные элементы матрицы T j были положительными; тогда поворот производится на острый угол. 2. Если sin j > 0, то поворот в положительном направлении (против часовой стрелки); если же sin j < 0, то поворот в отрицательном направлении.

¯

Вычисление угла поворота j по элементам матрицы T j.

 

Таблица 4.5. Схема упрощения уравнения кривой второго порядка

Исходные данные: общее уравнение кривой второго порядка a 11 x 2 + 2 a 12 xy + a 22 y 2 + 2 b 1 x + 2 b 2 y + c = 0, где F (x, y) = a 11 x 2 + 2 a 12 xy + a 22 y 2 - квадратичная форма, L (x, y) = 2 b 1 x + 2 b 2 y - линейная часть, c - свободный член.

¯

Получение собственных чисел l1 и l2 и матрицы T j поворота к главным направлениям квадратичной формы F (x, y).

¯

Поворот осей координат к главным направлениям квадратичной формы (кривой): а) преобразование квадратичной формы к каноническому виду F (x¢, y¢) = l1 x¢ 2 + l2 y¢ 2; б) преобразование линейной части L (x¢, y¢) = 2= || b 1 b 2|| T j = 2 x¢ + 2 y¢. Результат: уравнение кривой в повернутых координатах: l1 x¢ 2 + l2 y¢ 2 + 2 x¢ + 2 y¢ + c = 0.

¯

Параллельный перенос начала координат (системы координат O¢x¢y¢) в точку (, ): а) если l1×l2 ¹ 0, то (, ) - центр кривой; выделяются полные квадраты для переменных x¢ и y¢. Результат: l1(x¢ - )2 + l2(y¢ - )2 = с². б) если l1×l2 = 0, то (, ) - вершина кривой (параболы); выделяется полный квадрат для x¢, если l1 ¹ 0, и для y¢, если l2 ¹ 0. Результат: l1(x¢ - )2 = -2 (y¢ - ) или l2(y¢ - )2 = -2 (x¢ - ).

¯

Запись полученных уравнений в преобразованных координатах путем замены x¢ - = x², y¢ - = y²: а) l1 x² + l2 y² = с²; б) l1 x² 2 = -2 y² или l2 y² 2 = -2 x².

¯

Запись полученных уравнений в каноническом виде:
1. Случай l1×l2 > 0: кривая эллиптического типа, каноническое уравнение .	2. Случай l1×l2 < 0: кривая гиперболического типа, каноническое уравнение .	2. Случай l1×l2 = 0: кривая параболического типа, каноническое уравнение y² 2 = 2 px² или x² 2 = 2 py².

¯

Результат упрощения: каноническое уравнение кривой второго порядка.

 

 

Примечания к табл. 4.5.

1. При упрощении уравнений кривых второго порядка возможны вырожденные и мнимые случаи, которые здесь не рассматриваются.

2. Если в исходном уравнении a ₁₂ = 0, то производится только параллельный перенос системы координат.

 

Таблица 4.6. Канонические уравнения поверхностей второго порядка

Цилиндрические поверхности (случай F (x,y) = 0)
1) эллиптический цилиндр	2) гиперболический цилиндр	3) параболический цилиндр y 2=2 px
Поверхности, имеющие центр симметрии
1) эллипсоид	2) сфера x 2 + y 2 + z 2 = R 2	3) конус
4) однополостный гиперболоид	5) двуполостный гиперболоид
Параболоиды
1) эллиптическийпараболоид , p > 0, q > 0	2) гиперболическийпараболоид , p > 0, q > 0

Примечание. Для каждого вида поверхности приведен один вариант канонического уравнения.