Свойства линейной зависимости и независимости

1) Система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Доказательство.

. Выбираем

Не все скаляры нулевые, и линейная комбинация равна нулевому вектору, значит система линейно зависима.

■

2) Если какая-нибудь подсистема системы векторов линейно зависима, то и сама система линейно зависима.

Доказательство.

Пусть -система векторов. Возьмем подсистему: ; . Пусть она линейно зависима, т.е. существуют , не все равные нулю, и . Отсюда следует, что система векторов линейно зависима.

■

3) Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.

Доказательство.

Предположим противное, что в системе векторов существует линейно зависимая подсистема. Тогда по свойству 2 - линейно зависимая система. Получили противоречие, которое доказывает свойство 3.

■

4) Система векторов , где , линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов этой системы является линейной комбинацией предшествующих векторов.

Доказательство.

Необходимость. Пусть линейно зависимая система векторов, тогда существуют , такие, что и не все . Пусть - наибольший индекс, такой, что скаляр . Тогда из следует, что значит . Получили, что - линейная комбинация предшествующих векторов.

Достаточность. Пусть - линейная комбинация векторов . Выпишем коэффициенты: - не все , поэтому система векторов линейно зависима.

■

5) Если система векторов - линейно независима, а система векторов - линейно зависима, то вектор - линейная комбинация векторов .

Доказательство.

Рассмотрим линейно зависимую систему векторов . По свойству 1) один из векторов этой системы является линейной комбинацией предшествующих. Никакой из векторов , , не может быть линейной комбинацией, так как - линейно независимая система по условию. Значит, является линейной комбинацией предшествующих векторов, т.е. векторов .

■