Матрица перехода от одного базиса к другому

Вопросы к экзамену по Линейной алгебре за первый семестр

Определение комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Линейные операции над матрицами и их свойства.

Произведение матриц и его свойства.

Понятие определителей 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей.

Миноры и алгебраические дополнения. Теоремы разложения и аннулирования. Понятие определителя п-го порядка.

Понятие обратной матрицы. Теорема существования обратной матрицы, формула нахождения обратной матрицы.

7. Системы линейных уравнений. Основные определения: решение системы, совместность, несовместность, определенность, неопределенность. Равносильные системы. Однородные и неоднородные системы. Матрица системы линейных уравнений, расширенная матрица системы линейных уравнений. Матричная форма записи системы линейных уравнений.

Теорема Крамера.

Матричный метод решения системы линейных уравнений (теорема о матричном методе с доказательством).

Метод Жордана-Гаусса решения системы линейных уравнений общего вида. Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Элеиентарные преобразования матриц. Понятие системы линейных уравнений, приведенной к единичному базису, алгоритм метода Жордана-Гаусса, общее, частное, базисное решение системы, базисные и свободные неизвестные.

Модифицированные жордановы исключения, применение их к решению систем линейных уравнений и отысканию базисных решений. Правила МЖИ.

12. Понятие линейного пространства. Понятие п-мерного вектора. Линейные операции над п-мерными векторами. Пространство Rⁿ.

13. Понятие линейной комбинации п-мерных векторов. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Пример линейно независимой системы векторов в пространстве Rⁿ. Основные свойства линейно зависимых систем векторов.

Понятие ранга матрицы.

Понятие размерности и базиса линейного пространства. Разложение вектора по базису. Теорема о координатах суммы векторов и произведении вектора на число.

16. Основные теоремы о размерности и базисе линейных пространств, критерий базисности векторов в пространстве Rⁿ. Стандартный базис в пространстве Rⁿ. Теорема о стандартном базисе.

Матрица перехода от одного базиса к другому.

18. Скалярное произведение в пространстве Rⁿ и его свойства. Норма п-мерного вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональные векторы. Ортонормированный базис в пространстве Rⁿ.