Следует провести расчеты, разобранные в примере 2.1, с вашими условиями

Пример 2.1 Задана система линейных алгебраических уравнений

Требуется

Ввести в компьютер массивы исходных данных матрицу системы и столбец свободных членов , установить 1 в качестве начала отсчета индексов массивов. Вычислив определитель, проверить невырожденность матрицы .
Составить расширенную матрицу , сравнив её ранг с рангом матрицы и с числом неизвестных, сделать вывод о совместности и определенности системы .
Перед каждым шагом прямого хода производить сортировку уравнений так, чтобы коэффициенты при исключаемых неизвестных располагались сверху вниз по порядку убывания модулей. Это позволит избежать появления нулевых коэффициентов на главной диагонали
С помощью элементарных преобразований над строками расширенной матрицы провести последовательное исключение неизвестных по шагам прямого хода метода Гаусса.
Вычислить определитель системы по диагональным элементам расширенной матрицы в конце прямого хода.
Осуществив преобразования обратного хода, получить решение системы.
Сравнить полученные результаты с результатами применения встроенных функций.

Решение. Привычное для нас начало счета индексов элементов массивов с единицы устанавливается командой «ORIGIN:=1», по умолчанию индекс первого элемента массива равен нулю. Ранг матрицы M вычисляется функцией . Программа решения системы приведена на рис. 2.1 - 2.3.

Рис. 2.1

Нажатием кнопки на панели Матрицы или клавиш “Ctrl”+”-“ можно обеспечить поэлементное проведение операции над матрицами. В знак этого сверху над функцией появится стрелка как над вектором. Вместо модуля вектора-столбца появится вектор-столбец, составленный из модулей компонент исходного вектора. Функция присоединяет полученный вектор к расширенной матрице в качестве последнего столбца. Затем функция сортирует строки полученной матрицы по возрастанию элементов последнего столбца и, наконец, функция меняет порядок элементов последнего столбца на противоположный – по убыванию. В результате таких комбинаций мы получим в качестве разрешающего элемента на главной диагонали элемент, самый большой по модулю в столбце. Удалив последний столбец с помощью функции , мы получим расширенную матрицу, подготовленную к очередному шагу прямого хода Гаусса.

В начале каждого шага процесса Гаусса мы транспонируем расширенную матрицу и обозначаем её как . Вместо преобразования строк расширенной матрицы мы работаем с векторами-столбцами . Номера преобразуемых столбцов задаются ранжированной переменной: - на первом шаге, - на втором шаге и т.д. Формулы преобразований соответствуют формулам (2.4). В конце каждого шага транспонируется, чтобы можно было удостовериться, что очередной столбец ниже главной диагонали заполнился нулями. При окончании прямого хода мы можем очень экономичным образом вычислить определитель матрицы . Он равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали в преобразованной расширенной матрице, если, разумеется, не было перестановок уравнений. Для вычисления определителя можно использовать кнопку в панели Calculus (Анализ). Затем, используя ранжированную переменную , делим каждую строку на её диагональный элемент. Прямой ход закончен, переходим к обратному ходу, осуществляемому аналогичным образом. Здесь нулями заполняется треугольник над главной диагональю, на каждом шаге обратного хода используются убывающие ранжированные переменные и т.д. Данное решение следует сравнить с решениями, полученными с использованием функций и .

Эти функции построены профессионалами на основе метода Гаусса. Наша программа, приведенная на рис. 2.1 - 2.2, носит учебный характер. В заключение порекомендуем для облегчения набора использовать операцию копирования на каждом шаге с внесением необходимых изменений.

Рис. 2.2

Рис. 2.3

Перейдем к итерационным методам решения систем линейных алгебраических уравнений, ограничимся проблемой нахождения единственного решения определенной системы

(2.9)

Здесь - квадратная матрица коэффициентов системы; - матрица неизвестных; - матрица свободных членов. Ранг системы равен числу неизвестных .

Различные варианты метода простых итераций предполагают переход от системы (2.9) к эквивалентной системе

(2.10)

Задачу о поиске точного решения систем (2.9) или (2.10) трактовать как задачу о неподвижной точке линейного отображения в - мерном пространстве. Итерационный процесс, определяющий последовательность приближений к неподвижной точке , определяется очевидным рекуррентным соотношением

. (2.11)

Начальное приближение считается известным. Итерационный процесс (2.11) принято называть методом простых итераций.

Необходимым и достаточным условием сходимости процесса простых итераций к точному решению при любом начальном приближении является требование, чтобы все собственные значения матрицы по модулю были меньше 1. [вержбицкий]

Более простым достаточным условием сходимости служит требование

. (2.12)

Из (2.17) следуют полезные оценки погрешности приближений: апостериорная оценка

, (2.13)

которую используют для остановки процесса при достижении заданной точности, и более грубая априорная оценка:

, (2.14)

по которой до проведения расчетов можно найти число итераций, необходимое для достижения заданной точности. Отметим, что в данных оценках предполагается использование согласованных матричных и векторных норм.

Различные варианты метода простой итерации различаются способом перехода между системами (2.9) и (2.10). Рассмотрим метод, предложенный немецким математиком Карлом Якоби (1804-1851). Представим матрицу исходной системы (2.9) в виде суммы матриц: диагональной матрицы и двух строго треугольных с нулевой диагональю и (левой и правой). Тогда система (2.9) запишется в виде

(2.15)

и если на главной диагонали исходной матрицы не было нулей, то у существует обратная матрица - диагональная матрица с диагональными элементами . Тогда мы можем преобразовать (2.9) в систему (2.10), где

. (2.16)

Метод итераций Якоби в матричном виде определяется рекуррентной формулой (2.11) с матрицами (2.16). Отметим, что в матрице на главной диагонали стоят нули. Выпишем рекуррентную формулу Якоби в развернутом виде:

(2.17)

Доказано простое достаточное условие сходимости последовательности итераций Якоби, которое называют диагональным преобладанием:

(2.18)

Другой немецкий ученый – астроном и математик Людвиг Зейдель (1821-1896) предложил, как усовершенствовать метод Якоби и ускорить сходимость. Для этого на каждом шаге итераций нужно уже найденную из первого соотношения (2.17) компоненту следующего приближения подставить в правую часть второго соотношения. Затем уже найденные компоненты и следующего приближения подставить в правую часть третьего соотношения и т.д. В итоге получаем рекуррентные формулы известные как формулы Зейделя:

(2.19)

Сравним оба метода - метод Якоби:

(2.20)

и Зейделя:

. (2.21)

в неявной матричной форме. Сопоставление (2.20) и (2.21) показывает, что оба метода сводятся к методу простой итерации (2.11), только матричные коэффициенты вычисляются по разным формулам. Для того, чтобы не было путаницы выпишем рекуррентную формулу Якоби еще раз:

. (2.22)

Здесь коэффициенты определяются формулой (2.15), следующей из (2.20)

. (2.23)

И, наконец, запишем рекуррентную формулу Зейделя:

. (2.24)

Здесь коэффициенты определяются формулой, следующей из (2.21):

. (2.25)

Доказано, что условие диагонального преобладания (2.18) является достаточным условием сходимости не только для метода Якоби, но и для метода Зейделя, причем для метода Зейделя оно обеспечивает более быструю сходимость [ Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. - М.: Высшая школа, 2000.].

Отметим еще один важный класс систем (2.9) с симметричной положительно определенной матрицей (так называемые нормальные системы), для которых метод Зейделя сходится. [ Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1970.] Там же доказано, что если любая невырожденная матрица при умножении слева на транспонированную матрицу становится симметричной положительно определенной, а значит система (2.9) переходит в нормальную систему

. (2.26)

Такое преобразование системы называют симметризацией Гаусса [ Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. - М.: Высшая школа, 2000.]