Краткая теория. Колебательные процессы (осцилляции) в электрических контурах имеют аналогии в механике

Колебательные процессы (осцилляции) в электрических контурах имеют аналогии в механике. Поведение простейшего осциллятора – одиночного маятника, представляющего собой тело небольших размеров массой m, подвешенное на длинном стержне, - хорошо изучено: это гармонические колебания с частотой ω₀.

 

Существенно более сложную колебательную систему представляет собой система из двух маятников, связанных между собой пружинкой небольшой жесткости (рис. 1). Маятники будут участвовать в коллективных колебаниях, амплитудно-частотная характеристика которых зависит от фазы смещения маятников друг относительно друга (относительной фазы).

Если оба маятника имеют вначале (при t = 0) равные смещения, то они будут колебаться как единое целое с постоянной амплитудой и частотой, равной частоте ω₀ и амплитуде одиночного маятника. Если имеются равные и противоположные амплитуды, то маятники будут колебаться с постоянной амплитудой, но с некоторой другой, слегка повышенной по отношению к ω₀ частотой ω₁. Эти два вида движения называются нормальными модами колебаний системы связанных осцилляторов, причем вид колебаний с частотой ω₀ называют четной модой нормальных колебаний и обозначают знаком “+” (ω₀ = ω⁺), а вид колебаний с повышенной частотой ω₁ называют нечетной модой нормальных колебаний и обозначают знаком “–“

(ω^- = ω₁). Нормальная мода колебаний – это коллективное колебание, при котором амплитуда колебаний каждой движущейся частицы системы остается неизменной. В более сложных случаях, когда при t = 0 имеется относительный сдвиг фаз, результирующее движение можно рассматривать как комбинацию (суперпозицию) двух нормальных мод колебаний - амплитудно-модулированное колебание. С суперпозицией гармонических колебаний разных частот приходится встречаться в самых разнообразных явлениях. Примером могут служить не только маятники, но и два звучащих камертона с разными собственными частотами, причем наиболее интересным образом проявляется «смесовая» природа коллективных колебаний, когда частоты колебаний камертонов отличаются мало друг от друга. В этом случае человеческое ухо наиболее качественно воспринимает результирующее колебание как гармоническое колебание с переменной амплитудой, то есть ухо слышит музыкальный тон, интенсивность которого периодически меняется с частотой ω_δ = | ω₁ - ω₀| и периодом . Такой вид суперпозиции гармонических колебаний иллюстрирует рис. 2. Само это явление называется биениями, а величины Т_δ и ω_δ – периодом и частотой биений соответственно.

В системе двух связанных слабой пружиной маятников биения могут установиться, если сместить один из них (например, маятник 1, рис. 1), удерживая другой на месте, а затем отпустить их одновременно. В этом случае маятник 1 начинает колебаться один, но с течением времени колебания маятника 2 будут постоянно нарастать, а колебания маятника 1 – затухать. Через некоторое время маятник 2 испытывает сильные колебания, а маятник 1 останавливается. В случае четной моды нормальных колебаний маятники движутся вместе, пружина не растянута и частота такая же, как у одиночного маятника. В случае нечетной моды колебаний пружина растянута, что увеличивает частоту этой моды колебаний. Если в какой-то момент времени смещен только один из маятников, то возникают две нормальные моды колебаний, находящиеся в определенной относительной фазе. Но поскольку частота нечетного колебания немного выше частоты четного колебания, относительная фаза изменяется в процессе коллективного колебания. Амплитуда колебаний первого маятника оказывается равной нулю, а амплитуда второго достигает максимума, когда две нормальные моды колебаний окажутся в противофазе, затем начнется увеличение амплитуды первого маятника и т.д.

Поведение связанных осцилляторов легко объяснить с энергетической точки зрения: при t = 0 вся энергия сосредоточена в маятнике 1. В результате связи через пружину энергия постепенно передается от маятника 1 к маятнику 2 до тех пор, пока вся энергия не скопится в маятнике 2, затем, конечно если система осцилляторов подпитывается извне энергией для компенсации затухания из-за трения и т.д. Процесс обмена энергией повторяется от маятника 2 к маятнику 1 и т.д. Таким образом, «биения» - процесс обмена энергией между двумя гармоническими осцилляторами, собственные частоты которых различаются мало, а при t = 0 наблюдается относительный сдвиг фаз.

 

Биения можно наблюдать и в электрической системе: в двух одинаковых LC – контурах, связанных между собой слабой емкостной связью С_в (аналог механической связи в виде пружины). Колебания в контурах (рис. 3) возбуждаются с помощью преобразователя импульсов (ПИ).

Для теоретических расчетов рассмотрим упрощенный вариант этой схемы (рис. 4), где обозначены знаки зарядов в контурах и положительное направление тока: С_в = С₁₂; L₁ = L₂ = L. Причем для наблюдения важно, чтобы I₁ и I₂ были сонаправлены. Для двух контуров, соединенных по схеме рис. 4, можно записать по второму правилу Кирхгофа два уравнения, описывающие колебания зарядов в контурах:

(1)

(2)

Подставляя , получим

(3)

(4)

Сложим уравнения (3) и (4):

(5)

Разность уравнений (3) и (4) имеет вид:

(6)

Если при t = 0 переменная имеет значение , то решение уравнения (5) имеет вид:

. (7)

Частота равна частоте собственных колебаний отдельного контура. Аналогично, решение уравнения (6) имеет вид:

, (8)

где - значение переменной при t = 0.

Два вида колебаний заряда, описываемые уравнениями (7) и (8), называются нормальными модами колебаний системы связанных осцилляторов. Из (7) и (8) при Q₂₀ = 0 получаем:

(9)

(10)

Используя тригонометрические тождества:

, (11)

. (12)

приводим уравнения (9) и (10) к виду:

; (13)

. (14)

Графики Q₁(t) и Q₂(t) (уравнения 13 и 14) показаны на рис 2. Обратите внимание, что при t = 0 амплитуда Q₂ равна нулю. Амплитуда Q₂ c течением времени t увеличивается, а амплитуда Q₁ падает до тех пор, пока в момент времени, определяемый из соотношения , амплитуда Q₁ не станет равной нулю, а амплитуда Q₂ достигнет максимума.

Ситуацию, показанную на рис. 2, можно рассмотреть с энергетической точки зрения.

При t = 0 вся энергия сосредоточена в контуре 1. В результате связи через емкость С₁₂ энергия постоянно передается от контура 1 к контуру 2 до тех пор, пока вся энергия не соберется в контуре 2. Время, необходимое для перехода энергии из контура 1 в контур 2 и обратно, можно получить из уравнения ; частота, с которой контуры обменивается энергией:

. (15)

Для четной моды колебаний, обозначенной знаком «+», токи идут в одинаковом направлении. Тогда на емкости С₁₂ нет заряда. При этом частота ω⁺ остается такой же, как для несвязанных контуров, то есть . В случае нечетной моды емкость С₁₂ заряжена, что увеличивает частоту колебаний, то есть .

Следует отметить, что для того чтобы применить к связанным контурам рассмотренную выше теорию, они должны иметь одинаковую резонансную частоту , и, кроме того, предполагается, что С₁₂ велика по сравнению с С, то есть

(слабая связь). Тогда выражение (15) можно преобразовать следующим образом:

(16)

Полученное значение частоты обмена ω_обм (имеется ввиду обмен энергий), или частоты биений ω_биен = ω_обм, можно изменить, настраивая систему контуров путем изменения номиналов радиоэлементов C, C₁₂, L, R и т.д., добиваясь того, чтобы разностная частота была сведена к минимуму.

Исследование биений, то есть обмена энергией в связанных контурах является одной из практических задач данной работы.