Правило треугольника

Правило параллелограмма

Если вектора заданы в прямоугольной системе координат ā (а_1,а₂), в-(в₁,в₂), то чтобы найти сумму надо сложить с-(а₁+в₁;а₂+в₂)

2) Арифметические векторы пространства R

Арифметическим вектором называется упорядоченная совокупность n чисел.

Обозначается x = (x ₁, x ₂,..., x _n);

числа x ₁, x ₂, ...,x_n называются компонентами арифметического вектора.

Для арифметических векторов определены линейные операции — сложение арифметических векторов и умножение вектора на число:

для любых x = (x ₁, x ₂,..., x _n), y = (y ₁, y ₂,..., y _n) и любого числа α справедливо:

x + y = (x ₁+ y ₁, x ₂ + y ₂,..., x _n + y_n);αx = (αx ₁, αx ₂,..., α x _n).

Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число называется пространством арифметических векторов Rn.

Вектор θ = (0, 0,..., 0) называется нулевым вектором Rn,

а вектор −x = (−x ₁, −x ₂,..., −x _n) — противоположным вектором для вектора x в Rn.

3)Скалярное произведение двух векторов в пространстве определяется аналогично случаю на плоскости:

.

Формула скалярного квадрата:

.

Справедлива формула, связывающая скалярное произведение векторов и проекции этих векторов:

. (1)

 

4)Линейная зависимость векторов. Действия над векторами в координатной форме

 

Векторы называются линейно независимыми, если равенство

справедливо тогда и только тогда, когда В противном случае эти векторы называются линейно зависимыми. Для того чтобы векторы были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них можно было представить в виде линейной комбинации остальных.

5) Ортогональность векторов

Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Важной особенностью понятия является его привязка к конкретному используемому скалярному произведению: при смене произведения ортогональные элементы могут стать неортогональными, и наоборот.

 

6)Базис пространства R

Базис векторного пространства и его размерности.

Базисом на плоскости называется совокупность фиксированной точки и 2х неколлинеарных векторов, проведенных к ней.

Базисом в пространстве наз. совокупность фиксированной точки в пространстве и 3х некомпланарных векторов.

 

Любой вектор на плоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости. Любой вектор в пространстве может быть разложен по векторам базиса в пространстве.

 

ОС=OA+OB, OA=x*i, OB=j*y, OC=xi+yj. Числа х,у называются координатами вектора ОС в данном базисе

 

(НЕОБЯЗАТЕЛЬНО)Упорядоченная тройка ненулевых линейно-независимых векторов образует базис в трехмерном пространстве. Любой вектор пространства единственным образом может быть разложен по базисным векторам, т.е. представлен в виде

где – координаты вектора в базисе (записывают: ).

В пространстве линейная независимость векторов равносильна их некомпланарности, т.е. любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке, образуют базис.

Пусть задана тройка некомпланарных векторов. Совместим начала этих векторов. Если кратчайший поворот вектора до направления вектора , наблюдаемый с конца вектора совершается против часовой стрелки, то тройка векторов называется правой. В противном случае – левой. Всюду далее рассматриваются правые тройки базисных векторов.

В случае, когда базисные векторы попарно перпендикулярны, система координат называется прямоугольной декартовой. Если добавить, кроме того, условие нормированности базисных векторов (т.е. их единичную длину), то такой базис называют ортонормированным и обозначают : Прямоугольные декартовы координаты вектора является его проекциями на вектора соответственно.

Если точка M имеет прямоугольные декартовы координаты x, y, z в системе координат с началом в точке O (0, 0, 0) и базисом , то соответствующий радиус-вектор

Если и , то

.

Линейные операции для векторов и в координатной форме и их скалярное произведение вычисляются по формулам:

; (4)

(5)

(6)

; (7)

. (8)

Направляющими косинусами вектора называются величины , где углы, которые образует вектор соответственно с осями . Их вычисляют по формулам:

(9)

Если единичный вектор, то .

7) Основные сведения о матрицах

Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из элементов некоторого множества. Горизонтальные ряды такой таблицы называются строками матрицы, а вертикальные – ее столбцами. Матрицы обозначают A, B, C, X …. Запись a_ij используется для указания местоположения элемента матрицы (i – номер строки, j – номер столбца). Числовую матрицу размера (то есть состоящую из m строк и n столбцов чисел) в общем случае записывают в виде:

или в более компактной форме , .

Eё обозначают также .

Если , то матрицу называют квадратной и обычно обозначают A_n. Элементы a_ii, () такой матрицы образуют ее главную диагональ.

Квадратная матрица вида , (1)

где , называется диагональной. Если для любого , то матрица (1) называется единичной и обозначается E_n.

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю. Обозначают такую матрицу буквой O.

Две матрицы одинакового размера

и (2)

называются равными, если для всех .

8) Операции над матрицами (сложение, вычисление, умножение)

Суммой матриц (2) называется матрица A + B размера m×n, состоящая из элементов , где .

Произведением матрицы A_m×n на число α называется матрица .

Разностью матриц (2) называется матрица A–B = A+ (–1)B.

 

Свойства операций сложения матриц и умножения на число:

1)

2)

3) 0·A= О;

4)

5)

6)

7) A и B – матрицы одинакового размера.

Для матриц A и B может быть введена операция умножения A · B при условии, что матрицы согласованы, т. е. количество столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы B.

Произведением матрицы A_l×m на матрицу B_m×n называется матрица элементы которой

.

Для получения элемента матрицы – произведения умножают последовательно каждый элемент строки матрицы А на каждый элемент j-го столбца матрицы В и находят сумму этих произведений.

Свойства операции умножения матриц:

1)

2)

3)

4)

В общем случае из существования AB не следует существование BA. Даже если оба эти произведения определены, они не всегда равны. Матрицы, для которых называются коммутативными.

Пусть A – квадратная матрица. Тогда k -я степень () матрицы A определяется равенством . По определению принимают при условии

Элементарными преобразованиями над строками матрицы A называют следующие операции:

1) перестановку строк;

2) умножение строки на ненулевое число;

3) прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на ненулевое число.

Говорят, что матрица A эквивалентна матрице B (пишут: A~B), если матрица B получена из A при помощи элементарных преобразований строк.

 

9) Транспонирование матрицы,

возведение в степень - Матрица A^T, полученная из матрицы A заменой столбцов строками с теми же номерами, называется транспонированной к матрице A, то есть

Свойства операции транспонирования матриц:

1)

2)

3)

4)

Если для квадратной матрицы A выполняется соотношение то матрица A называется симметрической матрицей, а если – то кососимметрической. Возведение в степень матрицы осуществляется произведением матрицы на себя в количестве указанной порядком степени

 

10) Определители. Основная теорема об определителях

Каждой квадратной матрице A порядка n можно поставить в соответствие единственное число, которое вычисляется по определенному правилу. Это число называется определителем (или детерминантом) матрицы A и обозначается |A|, или det A, или Δ(A). Порядок матрицы A является и порядком ее определителя. Определители порядка 1-3 определяются, соответственно, равенствами:

,

, (3)

.

Основные методы вычисления определителей.

1. Для определителей 3-го порядка удобно использовать правило треугольников, которое схематично можно изобразить следующим образом:

 

 

Линии соединяют по три элемента, которые умножаются, а затем произведения складываются.

2. Определитель порядка n может быть вычислен разложением по любой строке (столбцу):

.

3. Метод эффективного понижения порядка определителя: используя свойства определителя, его преобразуют к такому виду, чтобы все элементы некоторой строки (столбца) определителя, кроме одного, были нулями, затем вычисляют определитель разложением по этой строке (столбцу).

4. Метод приведения к треугольному или диагональному виду с использованием свойств определителя, когда определитель равен произведению диагональных элементов.

Минором M_ij элемента a_{i j}, , называется определитель (n -1)-го порядка, который состоит из элементов матрицы, полученной из данной после «вычеркивания» i - той строки и j -того столбца.

Алгебраическим дополнением элемента a _ij называется число А_ij =(-1) ^i+j M _ij. Определитель порядка n, где

, определяется как число.

Последнее равенство называют разложением определителя по элементам первой строки. Оно есть обобщение равенств (3).

11)Свойства определителей:

1) ;

2) ;

3) общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя;

4) перестановка двух строк (столбцов) меняет знак определителя на противоположный;

5) |A|=0, если выполняется одно из следующих условий:

· в определителе есть нулевая строка (нулевой столбец),

· в определителе есть пропорциональные строки (столбцы),

· в определителе есть строки (столбцы), являющиеся линейной комбинацией соответствующих элементов других строк (столбцов);

6) если к элементам одной строки (столбца) определителя прибавить линейную комбинацию соответствующих элементов других строк (столбцов), то значение определителя не изменится.

 

12) Обратная матрица

Квадратная матрица B, удовлетворяющая совместно с заданной матрицей A того же порядка равенствам называется обратной матрицей к A и обозначается A ^–1. Обратная матрица A ^–1 существует при условии, что A – невырожденная матрица, т. е.

Обратную матрицу можно вычислить следующими способами.

1-й способ. Используют формулу

(4)

где С – матрица, составленная из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A.

13) Алгоритм вычисления обратной матрицы

1. Вычисляем определитель матрицы A. Если det A ≠ 0, то матрица A имеет обратную

2. Составляем матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы A

3. Находим транспонированную матрицу для матрицы, составленной из алгебраических дополнений

4. Разделив матрицу ˜AT на определитель, получаем искомую обратную матрицу

5. Проверяем, что A · A⁻¹ = E, и записываем ответ

Аналогично вычисляется обратная матрица для невырожденной матрицы любого порядка

14) Ранг матрицы

Рангом матрицы A размера называется максимальный порядок отличных от нуля ее миноров. При этом любой ненулевой минор порядка называется базисным минором матрицы A.

Основные методы нахождения ранга матрицы A.

Метод окаймляющих миноров

Если в матрице A найден ненулевой минор M_k порядка k, а все окаймляющие его миноры )-го порядка равны нулю, то ранг матрицы равен k ().

Метод элементарных преобразований

Используя элементарные преобразования строк, матрицу приводят к трапециевидной или треугольной форме, далее ранг находят по определению.

Как частный случай последнего метода, может быть рассмотрен метод нулей и единиц: элементарными преобразованиями строк матрицу приводят к эквивалентной, состоящей или из нулевых строк и столбцов, или из строк и столбцов, в которых содержится ровно одна единица, а остальные элементы – нулевые. Количество единиц в такой матрице равно ее рангу.

 

15) Системы линейных уравнений с n неизвестными

Система линейных алгебраических уравнений (или линейная система) имеет вид:

где a_ij и b_j –заданные числа.

Систему (17) можно записать в матричной форме

(8)

где А – матрица системы, состоящая из коэффициентов;

B – матрица-столбец свободных членов;

X – матрица-столбец неизвестных. е. , , .

Решением системы (7) называется совокупность n чисел , которые после подстановки в уравнения системы вместо соответствующих неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное числовое тождество.

Система (7) называется совместной, если у нее существует хотя бы одно решение, в противном случае она называется несовместной. Совместная система (7) называется определенной, если она имеет одно решение и неопределенной, если более одного решения. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если множества их решений совпадают.

Определителем системы (9) называется определитель матрицы этой системы (состоящий из коэффициентов: , Если то система называется невырожденной; если - вырожденной.

Методы решения невырожденных систем используются для решения линейных систем (9), состоящих из n уравнений с n неизвестными из которых .

16) Метод обратной матрицы состоит в решении матричного уравнения

где А – матрица системы, состоящая из коэффициентов;

B – матрица-столбец свободных членов;

X – матрица-столбец неизвестных. е. , , по формуле

17) Метод Крамера: для нахождения неизвестных необходимо использовать формулы

(11)

где – определитель, получаемый из определителя системы , , . заменой i -го столбца столбцом свободных членов.

Формулы (11) называются формулами Крамера.

Решение произвольных линейных систем

18) Метод Гаусса

используется в общем случае для систем вида (7)

(вырожденных и невырожденных). С помощью элементарных преобразований над строками расширенную матрицу системы (7) приводят к виду:

Соответствующая ей система, равносильная (7), примет вид:

(12)

Если хотя бы одно из чисел b_{r + 1}, … b_m отлично от нуля, то система (11), а значит, и исходная система (7) несовместны.

Если b_{r + 1} = … = b_m = 0, то система (11) позволяет получить явное выражение для базисных неизвестных x ₁, …, x_r через свободные неизвестные x_{r + 1}, …, x_n. Получаем бесконечное множество решений.

Если r = n, то свободные неизвестные отсутствуют, а значит, системы (11) и (7) имеют единственное решение. На практике обычно обходятся приведением матрицы системы (7) к треугольной или трапециевидной форме, после чего значения базисных переменных ищутся в обратном порядке.

19) Однородные системы уравнений

Однородной системой m линейных алгебраических уравнений для n неизвестных называется система уравнений

вида (1) или в матричном виде (2)

где А -заданная матрица из коэффициентов размером mxn,

- столбец n неизвестных, - нулевой столбец высоты m.

Однородная система всегда совместна (расширенная матрица совпадает с А) и имеет очевидные решения: х₁ = х₂ = … = х_n = 0.

Это решение называется нулевым или тривиальным. Всякое другое решение, если оно есть, называется нетривиальным.

20) Расстояние между точками, площадь треугольника

Расстояние между двумя точками на плоскости рассчитывается по следующей формуле:

где x1 и y1 координаты первой точки, а x2 и y2 координаты второй точки.

Расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве расчитывается по следующей формуле:

где x1, y1 и z1 координаты первой точки, а x2, y2 и z2 координаты второй точки.

Площадь треугольника:

- S треуг

 

 

21)Деление отрезка в данном отношении

Координаты точки C, делящей отрезок AB в отношении , можно найти по формулам:

 

 

22) Полярные координаты

Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.

Пару полярных координат r и φ можно перевести в Декартовы координаты x и y путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса:

x = rcos φ,

y = rsin φ,

в то время как две декартовы координаты x и y могут быть переведены в полярную координату r:

r2 = y2 + x2 (по теореме Пифагора).

 

 

23) Уравнение прямой с угловым коэффициентом

 

24) Уравнение прямой проходящей, через данную точку в заданном направлении..

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

 

25) Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

 

26) Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках на осях.

Общее уравнение прямой

Уравнение прямой в отрезках на осях

 

27) Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.

 

Нормальное уравнение прямой

Расстояние от точки до прямой

 

28) Окружность

 

 

2 9) Эллипс

Эксцентриситет величина, характеризующая меру сжатия эллипса, Директрисы

 

30) Гипербола

Гипербола – ГМТ М на плоскости, модуль расстояний от которых до двух фиксированных точек и есть постоянная величина 2а, меньшая расстояния между фокусами 2с:

Эксцентриситет для гиперболы

Директрисы

Прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние от точки М(х,у) гиперболы до этой прямой стремится к 0 при х → ± бесконечность.

Асимптоты гиперболы

Отношение расстояния r от точки гиперболы до фокуса к расстоянию d до ближайшей к этому фокусу директрисы равно эксцентриситету:

 

31) Директрисы эллипса и гиперболы.

Эллипс

Эксцентриситет величина, характеризующая меру сжатия эллипса,

Директрисы

Отношение расстояния r от точки эллипса до фокуса к расстоянию d до ближайшей к этому фокусу директрисы равно эксцентриситету:

Гипербола

Эксцентриситет для гиперболы

Директрисы

Прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние от точки М(х,у) гиперболы до этой прямой стремится к 0 при х → ± бесконечность.

Асимптоты гиперболы

Отношение расстояния r от точки гиперболы до фокуса к расстоянию d до ближайшей к этому фокусу директрисы равно эксцентриситету:

 

32) Парабола

 

 

Парабола – множество точек плоскости, равноудалённых от фиксированной точки плоскости (фокуса) и фиксированной прямой плоскости (директрисы).

p-параметр параболы

 

 

33) Общее уравнение плоскости

Плоскостью в пространстве называется множество всех точек М (х; у; z), координаты которых удовлетворяют уравнению

, (6.1)

где А, В, С, D – заданные числа, причем А, В и С не равны нулю одновременно. Уравнение (6.1) называется общим уравнением плоскости.

Геометрический смысл коэффициентов А, В и С состоит в том, что вектор перпендикулярен плоскости, его называют нормальным вектором плоскости. Этот факт устанавливается так же, как и в случае общего уравнения прямой на плоскости.

Из уравнения (6.1) следует, что если D = 0, то плоскость проходит через начало координат, так как координаты начала координат О (0;0;0) удовлетворяют уравнению .

Пусть С =0. Тогда уравнение

(6.2)

определяет плоскость, проходящую через прямую с этим уравнением в плоскости хОу и перпендикулярную этой плоскости. Какова бы ни была точка М (х; у; z), принадлежащая плоскости, ее координаты х, у удовлетворяют уравнению (6.2) независимо от того, какую она имеет третью координату z.

Если В = 0, С = 0, то уравнение

(А 0) (6.3)

есть частный случай уравнения (6.2). Преобразовав его к виду , заметим, что ему удовлетворяют точки, имеющие координату и произвольные координаты y и z, т.е. это плоскость, параллельная плоскости yOz или, что то же, перпендикулярная оси Ох.

 

 

34)Угол между двумя плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Уравнение поверхности

 

Уравнение линии

Отметим без доказательства, что расстояние от точки до плоскости, заданной уравнением , находится по формуле

.

Поэтому координаты этих векторов пропорциональны, т.е.

- (6.12)

канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку .

Угол между двумя плоскостями

Найдем теперь угол между плоскостями и . Поскольку векторы и перпендикулярны данным плоскостям, то угол между ними равен двугранному углу между плоскостями. Поэтому

. (6.8)

Если выражение в (6.8) положительное, то - острый угол, если отрицательное, то оно соответствует тупому двугранному углу .

Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Из формулы (6.8) получаем условие перпендикулярности двух плоскостей

. (6.9)

Условие параллельности двух плоскостей получается из условия коллинеарности векторов и :

. (6.10)

Если , то плоскости совпадают, так как их уравнения отличаются постоянным множителем.

 

 

35) Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

в векторной форме:

где - единичный вектор, — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

(знаки и противоположны).

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Расстояние от точки , до плоскости, заданной уравнением , вычисляется по формуле:

 

36) Общее уравнение прямой. Каноническое уравнение прямой.

Общее уравнение прямой

Если не параллельна , то есть не коллинеарен , то система уравнений

(3.42)

определяет прямую линию в пространстве.

 

Уравнения (3.42) называются общими уравнениями прямой в пространстве.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

 

Отметим без доказательства, что расстояние от точки до плоскости, заданной уравнением , находится по формуле

.

Поэтому координаты этих векторов пропорциональны, т.е.

- (6.12)

канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку . Вектор - направляющий векторпрямой.

 

37) Параметрическое уравнение прямой

Обозначив общее значение дробей в уравнении буквой t, т.е. положив = t, получим

- (6.13)

параметрические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку в направлении вектора . Параметр .

 

 

38) Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

Углом между прямыми в пространстве называется угол между двумя пересекающимися прямыми, проходящими через произвольную точку пространства параллельно данным.

Из определения следует, что . Если , то

 

.

 

1) – условие перпендикулярности прямых.

2) – условие параллельности прямых в пространстве.

 

39) Расстояние от точки до прямой в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

 

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Пусть прямая задана уравнением Ax+By+Cz+D=0

 

Условие параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

Из формулы получаем условия параллельности

и перпендикулярности прямой и плоскости

 

 

40) Угол между прямой и плоскостью

Пусть - угол между прямой и плоскостью . Тогда угол между векторами (направляющий вектор прямой) и (нормальный вектор плоскости) равен . Поэтому

41)Числовая последовательность Если каждому числу n из ряда 1,2,3..n поставлено в соответсвие вещественное число x_n, то множество вещественных чисел x₁,x₂…x_n наз-ся числовой последовательностью, а x_n -общим членом последов-ти. Сокращено обоз-ся {x_n}. Последовательность задана, если указано условие получения любого ее элемента. Пусть даны послед-ти {x_n},{y_n}. Тогда суммой их называется последовательность {x_n+y_n}, а разностью – {x_n-y_n}. Произведением {xn} на число m назовем послед-ть {mx_n} Произведение {x_n} на {y_n} есть {x_ny_n}, а частное – {x_n/y_n},где все члены {y_n} ≠0. Последов-ть {x_n} называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M(m), что любой элемент x_n этой последовательности удовлетворяет неравенству x_n≤M (x_n≥M). Последовательность x_n наз-ся бесконечно большой, если для любого A>0 существует такой номер N, что при n>N выполняется неравенство: |x_n|>A. Последовательность x_n наз-ся бесконечно малой, если для любого ε>0 существует такой номер N, что при n>N выполняется неравенство: |x_n|< ε. Если x_n-бесконечно большая посл-ть и все ее члены отличны от нуля, то послед-ть {1/x_n} является бесконечно малой. Число а называется пределом последова­тельности { x_n }, если для любого положительного числа ε су­ществует такой номер N, что при всех п > N выполняется неравенство

44)Сходимость последовательностей в пространстве Rn

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Если последовательность имеет своим пределом число а, то это записывается так: Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся

 

 

.45 Открытые и замкнутые множества в Rn. Предельные точки множества. Множество точек пространства Rn называется открытым, если вместе с каждой своей точкой оно содержит некоторую окрестность этой точки. Множество называется замкнутым, если оно включает все свои граничные (предельные) точки, т.е. точки, окрестности которых содержат точки как принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему. Пусть Х - множество в пространстве Rn. Точка р называется внутренней точкой множества Х, если существует шар В (р; r) (р- центр, r-радиус), все точки которого принадлежат множеству Х. Точка р называется внешней точкой по отношению к Х, если существует шар В (р;r),ни одна точка которого не принадлежит множеству Х. Точка р называется граничной, если она не является ни внутренней, ни внешней. Множество Х называется открытым, если каждая его точка является внутренней. Пусть Х-множество в пространстве Rn. Точка р0 называется предельной для множества Х, если в любой окрестности точки р0 имеются точки множества Х, отличные от р0. При этом точка р0 может как принадлежать, так и не принадлежать множеству Х. Точка р0 называется изолированной точкой, если существует такой шар В (р0;ε), в котором никаких точек из Х, кроме точки р0 не имеется

 

46. Число е. Задача на вычисление сложных процентов.

Рассмотрим последовательность { х_п }, общий член которой выражается формулой В курсе математического анализа доказывается, что эта последовательность монотонно возрастает и имеет предел. Этот предел называют числом е. Следовательно, по определе­нию Число е играет большую роль в математике.. Отметим, что число е является иррациональным; его приближенное значение равно е = 2,7182818...

 

47.Понятие функции

Пусть Х и Y — некоторые числовые множес­тва и пусть каждому элементу x Х по какому-либо закону f поставлен в соответствие один элемент у Y. Тогда го­ворят, что определена функциональная зависимость у от x по закону у = f (x). При этом x называют независимой перемен­ной (или аргументом), у — зависимой переменной, множество Х — областью определения (существования) функции, мно­жество Y — областью значений (изменения) функции. Сущест­вуют три основных способа задания функций: табличный, ана­литический и графический. 1. Табличный способ широко используется в приложениях. В таких таблицах одну из переменных можно принять за независимое, тогда другие причины будут функциями от этого аргумента. 2. Аналитический способ. Этот способ состоит в зада­нии связи между аргументом и функцией в виде формул. 3. Графический способ. Здесь соответствие между аргу­ментом и функцией задается посредством графика. Область определения функции 1. Когда функция задана в аналитическом виде y = f (x) область ее определения такова: подкоренное выражение в кор­не четной степени не может быть отрицательным, знаменатель дроби = 0, выражение под знаком ло­гарифма должно быть только положительным и др. 2. Область определения функции бывает задана вместе с функцией f(x). Например, 1 ≤ х ≤ 4. Функция у = f(x) называется четной, если для любых значений аргу­мента из области ее определения выполнено равенство f(-x)=f(x) Функция у = f(x) называется нечетной, если: f(-x)=-f(x)

 

48 Предел функции в точке.

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X. Возьмем последовательность точек , сходящуюся в точке a. Значения f(x) в этих точках также образуют числовую последовательность: f(), f(),…, f() (1) Определение1. Число А называется пределом функции f(x) в точке а или пределом функции при х→а, если для любой сходящейся к а последовательности значение аргумента х отличных от а соответствующая последовательность значений функции (1)сходится к числу А. Для обозначения предельного значения функции использу­ется следующая символика: f(x) А. Функция f(x) может иметь в точке а только одно предельное значение, поскольку последовательность f() имеет только 1 предел.

 

49 Односторонние пределы

Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами

 

• Число называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, больших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .

• Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, меньших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .^[1]

 

50. Теорема о пределах функций.

Теорема. Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке а пределы, равные соотве