Примеры. 1. С какой наибольшей скоростью может возрастать функция при переходе точки через точку ?

1. С какой наибольшей скоростью может возрастать функция при переходе точки через точку ? В каком направлении должна двигаться точка М при переходе через точку , чтобы функция убывала с наибольшей скоростью?

Наибольшая, по абсолютной величине, скорость изменения функции при переходе точки М через точку Р численно равна модулю градиента функции в точке Р. При этом функция будет возрастать или убывать с наибольшей скоростью, смотря по тому, будет ли точка М при переходе через точку Р двигаться по направлению градиента функции в точке Р или по прямо противоположному направлению. Руководствуясь этими положениями, находим частные производные функции и ее градиент в любой точке:

(2)

Далее находим градиент в указанных точках, подставив их координаты в выражение (2):

1) ,

его модуль, численно равный искомой наибольшей скорости возрастания данной функции при переходе М через точку М₀, равен:

.

2) ,

Искомый вектор, имеющий прямо противоположное направление, будет

.

Чтобы функция убывала с наибольшей скоростью, при переходе через точку М₁ точка М должна двигаться в направлении вектора .

[1] Предполагается, что функция — однозначная непрерывная функция, имеющая непрерывные частные производные первого порядка,,.