Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка»

Пример 1: Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса

Решение: Для данного эллипса и поэтому

Следовательно, фокусы имеют координаты и , эксцентриситет

Пример 2: Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса

Решение: Разделив на 36, приведем данное уравнение к виду

Отсюда следует, что большая полуось эллипса , а малая полуось . При этом ось эллипса и его фокусы расположены на оси . Найдем по формуле

.

Следовательно, координаты фокусов и , а его эксцентриситет

Пример 3: Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что его большая полуось , а его эксцентриситет . Найти расстояние между фокусами эллипса.

Решение: Воспользуемся формулой, выражающей эксцентриситет через отношение полуосей:

, или , откуда .

В данном случае

Следовательно, каноническое уравнение эллипса

.

Так как , то ; и расстояние между фокусами

Пример 4: Асимптоты гиперболы имеют уравнения , а расстояние между фокусами равно 20. Написать ее каноническое уравнение.

Решение: Разрешим уравнения асимптот относительно и, сравнив с общей формулой асимптот, найдем отношение к :

Кроме того, , т.е. . Так как для гиперболы , то для нахождения и получим систему уравнений

решая которую, найдем . Следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид

Пример 5: Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку и симметрична относительно оси . Написать ее уравнение.

Решение: Так как парабола симметрична относительно оси и проходит через точку с положительной абсциссой, то она имеет вид, представленный на рис.

Подставляя координаты точки в уравнение такой параболы , получим , т.е. .

Следовательно, искомое уравнение

фокус этой параболы , уравнение директрисы