Механизм возникновения циклов

Рассмотрим отображение:

(14.7)

График функции (14.7) пересекается с прямой у = х во всех неподвижных точках отображения (14.2):

а также в точках, принадлежащих циклу

Увеличивая параметр l, мы растягиваем функцию вдоль оси у (см. рисунок). Если при некотором значении l линии у = х и пересекаются в одной точке, то с увеличением l могут появиться ещё две точки пересечения, которые и будут определять цикл

Таким образом, переход в отображении f (x) обусловлен тем, что в отображении одна из неподвижных точек теряет устойчивость, и в её окрестности появляются две новые устойчивые неподвижные точки.

Следующие удвоения происходят аналогично. Их можно проследить, рассматривая функции и т. д.

Действуя так же, как при исследовании устойчивости неподвижных точек, можно показать, что устойчивость цикла с элементами будет определяться формулой: