Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Пусть функция дифференцируема в точке Тогда в точке она имеет касательную, каждая точка которой удовлетворяет уравнению

Определение 3. Говорят, что кривая выпукла вверх в точке если существует такое, что в окрестности кривая находится

ниже своей касательной (3) в точке т.е. если Если же

то кривая называется выпуклой вниз в точке (часто говорят, о выпуклости или вогнутости в точке ). Говорят, чтокривая выпукла вверх (выпукла вниз) на интервале если она выпукла вверх (выпукла вниз) в каждой точке этого интервала.

На рисунке Р.2 функция выпукла вверх в точке а на Р.3 – выпукла вниз.

Теорема 3. Пусть функция дважды дифференцируема на интервале . Тогда справедливы высказывания:

1. если то кривая выпукла вверх на

2. если то кривая выпукла вниз на

Доказательство. Пусть произвольная точка интервала Окружим её отрезком Таккак функция удовлетворяет на этом отрезке всем условиям теоремыТейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, то для всех имеет место представление

С другой стороны, в точке функция имеет касательную с уравнением .Значит, Отсюда видно, что если (тогда и ), то значит,

кривая выпукла вверх в точке Если же то то значит,кривая выпукла вниз в точке Теорема доказана.

Определение 4. Точка называется т очкой перегиба кривой если:а) дифференцируема в точке ; б) кривая при переходе через точку изменяет направление выпуклости (это равносильно тому, что разность изменяет знак при переходе через точку ).

Необходимое условие точки перегиба. Если - точка перегиба и если существут то

Доказательство вытекает из локальной формулы Тейлора и из равенства

Замечание 4. К точкам, подозрительным на “перегиб”, следует отнести, прежде всего, точки , для которых Однако “перегиб” может иметь место и в точках, в которых вторая производная не существует или равна Например, в точке функция имеет производную И в этой точке эта функция имеет “перегиб”. Очевиден следующий результат.

Теорема 4 (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция дифференцируема в точке и некоторой её окрестности и дважды дифференцируема в некоторой проколотой окрестности этой точки. Тогда если при переходе через точку вторая производная изменяет знак, то точка перегиба кривой