Множення матриці на число

По визначенню добутком матриці А на число a (на відміну від матриць і векторів, числа часто називають скалярами) є матриця С = a А, елементи якої виходять множенням відповідних елементів матриці А на це число а, тобто приклад :

Очевидно, справедливі наступні співвідношення: a (А +В)= aA+aB; (ab)A=a(bA) де А и В — матриці однакового розміру; a і b — числа (скаляри). Загальний множник елементів можна виносити за знак матриці, вважаючи його скалярним множником.

Різниця двох матриць однакових розмірів зводиться до вже розглянутих операцій співвідношенням А — В =А+(-1)В,. тобто С = А — В, якщо .

2.1.5. МНОЖЕННЯ МАТРИЦЬ.

По багатьом розумінням доцільно визначити цю операцію в такий спосіб: добутком матриці А розміру на матрицю В розміру є матриця С = АВ розміру , елемент якої, розташований у -клітці, дорівнює сумі добутків елементів i-й рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В, тобто

c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + … + a_inb_nj =

Множення А на В припустимо (добуток АВ існує), якщо число стовпців A дорівнює числу рядків B (у таких випадках говорять, що ці дві матриці погодяться за формою). Приклад:

Для матриць А и В існує як добуток АВ розміру , так і добуток ВА розміру . Ясно, що при ці добутки не можуть бути рівними вже внаслідок різних розмірів результуючих матриць. Але навіть при , тобто у випадку квадратних матриць однакового порядку, добутку АВ і ВА не обов'язково рівні між собою. Наприклад, для матриць

маємо

Звідси випливає, що взагалі операція множення матриць не підкоряється комутативному закону (АВ ВА). Якщо ж виконується співвідношення АВ = ВА, то матриці А и В називають комутірующими чи перестановчими. Асоціативний і дистрибутивний закони для матричного множення виконуються у всіх випадках, коли розміри матриць допускають відповідні операції: (АВ)С = А(ВС) = АВС (асоціативність), А+(В+С) = АВ+АС і (А — В)С = АС - ВС (дистрибутивність множення ліворуч і праворуч щодо додавання).

Множення - матриці А на одиничну матрицю т-го порядку ліворуч і на одиничну матрицю n-го порядку праворуч не змінює цієї матриці, тобто . Якщо хоча б одна з матриць добутку АВ є нульовий, то в результаті одержимо нульову матрицю.

Відзначимо, що з не обов'язково випливає, що чи . У цьому можна переконатися на наступному прикладі: