Універсальна множина

Як ми бачили, роль нуля в алгебрі множин грає порожня множина. Запитується, чи існуємножина I, що буде відігравати роль одиниці, тобто задовольняти умові

аналогічній умові а´1=а в звичайній алгебрі.

Співвідношення означає, що перетинання або “загальна частина” множини I і множини Х для будь-якої множини Х збігається із самою цією множиною. Але це можливо лише в тому випадку, якщо множина I містить всі елементи, із яких може складатися множина X, так що будь-яка множина Х цілком міститься в множині I. Множина I, що задовольняє цій умові, називається повною, або універсальною, або одиничною.

Виходячи зі сказаного, можна дати наступне визначення універсальної множини. Якщо в деякому розгляді беруть участь тільки підмножини деякої фіксованої множини І, то ця найбільша множина I називається універсальною множиною.

Слід зазначити, що в різних конкретних розглядах роль універсальної множині можуть грати різні множині. Так, при розгляді множин студентів у групі (відмінники; студенти, студенти, що отримають стипендію, що проживають у гуртожитку, і т.п.) роль універсальної множини грає множина студентів у групі.

Універсальну множину зручно зображувати графічно у вигляді множини точок прямокутника. Окремі області всередині цього прямокутника будуть означати різні підмножини універсальної множині. Зображення множин в вигляді областей у прямокутнику, що уявляє собою універсальну множину, називається діаграмою Ейлера-Венна.

Універсальна множина має цікаву властивість, що не має аналогії в звичайній алгебрі, а саме, для будь-якої множині Х справедливо співвідношення

ХÈ I=I.

Дійсно, об'єднання Х È I являє собою множину, у яку входять як всі елементи множини X, так і всі елементи множини I. Але множина I уже містить у собі всі елементи множині X, так що Х È I буде утворюватися з тих же елементів, що і I, тобто являє собою саму універсальну множину I.