Обчислення|підрахунок| середньої зваженої.

Середня зважена є результатом усереднювання середніх арифметичних декількох сукупностей|. Вона обчислюється за формулою (7):

(7)

де х_взв|– середня зважена; х₁, х₂, х₃ – середні арифметичні 1-ої, 2-ої і т.д. сукупностей|; n₁_, n₂_, n₃ – об'єм|обсяг| сукупності.

Приклад|зразок| А. Відомасередня висота і кількість саджанців лавра благородного (Laurus nobilis L.) на трьох карантинних ділянках. Вони складають: на першій – = 380 мм, n₁=1000; на другій – = 460 мм n₂=500; на третій – = 400 мм n₃=2000. Потрібно обчислити|обчисляти,вичислити| середню висоту за даними трьох карантинних ділянок.

Використовуючи для обчислення|підрахунку| середньої зваженої формулу (7), одержимо|отримаємо|:

Приклад|зразок| Б. Розрахуйтесередній вміст нітратів в листках рослин чорнобривців розлогих (Tagetes patula L.) в червні, липні і серпні, за наведеними в табл. 12 даними.

Таблиця 12

Місяці	Середній вміст нітратів в листках, мг/г сухої речовини	Об'єм\|обсяг\| вибірки
Червень	42,3
Липень	50,4
Серпень	52,3

сорт\|гатунок\| А.......
сорт\|гатунок\| Б.......

сорт\|гатунок\| А......	– 1	– 1							+ 1	+ 1
сорт\|гатунок\| Б.......	– 2	– 2	– 1	– 1				+ 1	+ 2	+ 3

Для характеристики ступеня|міри| варіювання відхилення окремих варіант від середньої арифметичної підносять у квадрат. При цьому всі знаки стануть позитивними, і сума їх буде позитивною величиною. Крім того, при піднесенні в квадрат і підсумовуванні відхилень, які як надалі відстоять від середньої, є|з'являються,являються| відносно великими доданками. Внаслідок цього сума квадратів відхилень при одному і тому ж числі спостережень буде тим більше, чим суттєвіше розкид експериментальних даних.

Щоб елімінувати вплив об'єму|обсягу| сукупності, суму квадратів ділять на число спостережень. Одержаний|отриманий| таким чином середній квадрат відхилень від середньої арифметичної називають дисперсією (або розсіянням). Дисперсія генеральної сукупності позначається|значиться| σ². При обробці вибіркових сукупностей знаходять|находять| оцінку генеральної дисперсії s², що більш менш наближається до σ².

Таким чином, загальною|спільною| формулою для знаходження s (або σ|β,α³λ|) буде:

(8)

При обробці згрупованих варіаційних рядів|лав,низок| формула (8) набуває такого вигляду:

(9)

де х – значення ознаки, що варіює; – середня арифметична; f – частоти групи; n – загальне|спільне| число спостережень.

Знаменник «n–1» називають у статистиці «числом ступенів свободи». Така назва пояснюється тим, що в статистиці при обчисленні|підрахунку| будь-яких середніх величин використовують число незалежних величин. При обчисленні|підрахунку| середньої арифметичної всі спостереження беруть участь в її утворенні і в цьому відношенні незалежні один від одного. Тому суму значень ділять на загальне|спільне| число, варіант, тобто|цебто| на n. Коли ж обчислюють|обчисляють,вичисляють| середнє відхилення, то число незалежних величин буде не n, а n–1, оскільки|тому що| кожне з відхилень визначається величиною всіх інших і чисельно дорівнює їх сумі, узятих із|із| зворотним знаком. Так, якщо є|наявний| чотири відхилення від середньої: 4, –2, –3, +1, то, наприклад, 4 = (–2) + (–3) +1 = –4 і т.д. Тому суму квадратів відхилень ділять не на n, а на n – 1. Це означає, що (n–1) відхилень є|з'являються,являються| незалежними величинами і можуть мати будь-яке значення, а одне відхилення позбавлено свободи варіювання і визначається іншими. Число мір свободи зазвичай позначають|значать| грецькою буквою|літерою| υ (ню).

У великих вибірках (близько 300–500 і більше варіантів) зменшення дільника дисперсії на одиницю мало змінює|зраджує| його абсолютну величину. Середнє квадратичне відхилення – завжди позитивна величина і виражається|виказується,висловлюється| в тих же одиницях вимірювання|виміру|, що і ознака, що вивчається.

∑(х– |)²= або ∑f(х– |)²= (10)

∑(х– |)²= або ∑f(х– |)²= (11)

∑(х– |)²= або ∑f(х– |)²= (12)

Застосування|вживання| цих формул значно скорочує об'єм|обсяг| обчислювальної роботи, особливо при використанні для розрахунків рахунково-обчислювальних машин.

Приклад|зразок| А. Вичисліть середню арифметичну і середнє квадратичне відхилення за формулою (9) для розподілу даних у табл. 13.

Таблиця 13 – Розподіл емпіричних даних

Середнє значення групи (Х)	Частоти (f)	fX	fX²








X

см²

Для перевірки вірності обчислення|підрахунку| суми квадратів відхилень слід повторити її обчислення|підрахунок|, застосувавши іншу формулу, наприклад (8).

(13)

Слід підкреслити, що значення коефіцієнта варіації особливо різко проявляється при порівнянні варіювання декількох ознак між собою. Зіставлення коефіцієнтів варіації дає ясне уявлення про ступінь|міру| варіювання ознак у даному досліді|досліді|.

6. Визначення показника різноманітності для альтернативних ознак. Якщо результати спостережень групуються в протилежні одна одній групи, їх варіювання на відміну від рядової мінливості називається альтернативним, а ознаки, за якими проводять спостереження альтернативними. Наприклад, співставлення чоловічих і жіночих особин|осіб|, хворих і здорових рослин і т.д. Показник різноманітності для альтернативних ознак визначають за допомогою середнього квадратичного відхилення в абсолютних і відносних значеннях за формулою:

або (14)

Приклад|зразок|. З|із| 100 рослин тюльпанів висаджених на клумбі 650 виявилися червоні, а 350 – пістрявопелюсткові (це може бути ознакою вірусного захворювання і бути небажаною ознакою). Визначити величину середнього квадратичного відхилення за показником наявності червоного забарвлення|фарбування| віночка.

; ;

p + q = 1

7. Оцінка варіант, що відхиляються. Найбільше значення ознаки у вибірці називається максимальною варіантою|, а найменше – мінімальною варіантою|. Якщо в ранжируваному варіаційному ряді |лаві,низці| значення максимальної або мінімальної варіанти надмірно велике або мале порівняно з сусідніми значеннями ряду|лави,низки|, то необхідно перевірити приналежність до даної сукупності тих варіант, що таких різко відхиляються, оскільки вони можуть відноситися до іншого сорту|гатунку|, іншої популяції, а також виникнути із-за грубої помилки при вимірюванні|вимірі| або підрахунку. У подібних випадках варіанти, що різко відхиляються і чужими для даної сукупності, повинні бути виключені з|із| вибірки. Проте|однак| це виключення|виняток| повинно бути обґрунтовано за допомогою кількісної оцінки відхилення таких варіант.

Для максимальної варіанти (за нормального або близькому до нього розподілі варіант) застосовується формула (15):

(15)

Перевіримо, наприклад, приналежність варіанти 82 в табл. 14 до даної сукупності.

Таблиця 14 – Висота рослин сої (у см) у вигляді ранжируваного незваженого варіаційного ряду|лави,низки|

Варіанти

∑х = 839

N = 13

Таблиця 15 – Значення критеріїв υ_N і υ₁ при рівнях значущості 0,01 (верхнє число) і 0,05 (нижнє число)*

N	ΥN₍₁₎	N	ΥN₍₁₎	N	ΥN₍₁₎
	0,991 0,955		0,520 0,410		0,414 0,320
	0,916 0,807		0,502 0,395		0,407 0,314
	0,805 0,689		0,486 0,381		0,400 0,309
	0,740 0,610		0,472 0,369		0,394 0,304
	0,683 0,554		0,460 0,359		0,389 0,299
	0,635 0,512		0,449 0,349		0,383 0,295
	0,597 0,477		0,439 0,341		0,378 0,291
	0,566 0,450		0,430 0,334		0,374 0,287
	0,541 0,428		0,421 0,327		0,369 0,283

* Якщо обчислені|обчисляти,вичислені| значення υ_N або υ₁перевищують табличні, то варіанта відкидається

Для мінімальної варіанти при розподілі, що не сильно відрізняється від нормального, застосовується формула:

(16)

υ₁ – критерій приналежності мінімальної варіанти х₁ до сукупності; х₂ – варіанта, що стоїть поряд із|поряд із| мінімальною; Х_N–1– друга за значенням варіанта після|потім| максимальної.

Для прикладу|зразка| оцінимо приналежність варіанти 43 у табл. 14 до даної сукупності:

Розраховане значення критерію менше за табличне (табл. 15): 0,029 < 0,520, тому відкидати варіанту не можна|прямує|.

У випадку, якщо|у разі, якщо,в случае | різко відхиляються за величиною не тільки|не лише| крайні варіанти, але й сусідні з|із| ними, приналежність їх до даної сукупності оцінюється за тими ж формулами. Наприклад, з|із| варіаційного ряду|лави,низки| 192, 187, 135, 127, 120, 111, 98, 87, 71, 66, 52, 47, 41, 12, 9 треба перевірити варіанту 187 і варіанту 12. Якщо ці варіанти виявляться чужими для даної вибірки, то варіанти 192 і 9 також повинні бути виключені. Якщо відомо середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої сукупності, то оцінку ступеня|міри| відхилення максимальної або мінімальної варіанти можна зробити точніше за допомогою табл. 15 і формул (17) і (18):

(17)

(18)

де σ|β,α³λ| – середнє квадратичне відхилення, решта позначень такі ж, що і у формулах (15) і (16).

Якщо відомо значення σ|β,α³λ| (σ|β,α³λ| = 11,98) повторимо процедуру оцінки цих же варіант за формулами (17) і (18).

За табл. 16 критичне значення для об'єму|обсягу| сукупності N = 10 (приймаємо найближче менше число) при рівні значущості 0,05 дорівнює 1,46, що більше обчислювальних значень. Отже, немає підстав відкидати як максимальну, так і мінімальну варіанти. Якщо варіанта після|потім| описаних способів перевірки відкидається, то обчислення|підрахунок| σ|β,α³λ| слід повторити для нової зменшеної вибірки.

Таблиця 16 – Критичне значення різниці між двома крайніми варіантами сукупності

Об'єм\|обсяг\| сукупності, N	Рівні значущості	Об'єм\|обсяг\| сукупності, N	Рівні значущості
0,10	0,05	0,01	0,005	0,10	0,05	0,01	0,005
	2,33	2,77	3,64	3,97		0,83	1,04	1,50	1,70
	1,79	2,17	2,90	3,20		0,82	1,03	1,50	1,67
	1,18	1,46	2,03	2,27		0,81	1,02	1,47	1,57
	1,03	1,27	1,80	2,00		0,75	0,95	1,38	1,55
	0,96	1,20	1,70	1,90		0,72	0,91	1,32	1,50
	0,91	1,15	1,63	1,85		0,70	0,88	1,30	1,47
	0,88	1,11	1,60	1,80		0,68	0,87	1,28	1,45
	0,86	1,08	1,57	1,76		0,65	0,83	1,22	1,40
	0,84	1,06	1,53	1,72