Критерий согласия χ2 Пирсона

Критерий χ ² Пирсона не требует графического построения закона распределения. Достаточно задаться ви­дом функции F (t), а входящие в нее числовые параметры определя­ются по данным эксперимента. Пусть произошло n отказов и имеется ряд наработок Т ₁₁, Т ₁₂, Т ₁₃,..., Т _1n устройства. Требуется проверить гипотезу о том, что статистическое распределение наработки устрой­ства согласуется с каким-либо известным законом (нормальным, экспоненциальным и т.д.). Разбиваем ось времени t (0, ∞) на k интервалов Δt ([(0, t ₁), (t ₁, t ₂),..., (t_{κ -2}, t_{κ -1}),(t_{κ -1}, ∞)]. Рассчи­тываем теоретическую вероятность Р_ί попадания в ί -й интервал при одном опыте с помощью статистически определённых параметров предполагаемого распределения. Подсчитываем число n_{ί стат} наработок, попавших в ί -й интер­вал. Затем вычисляется вероятность [4]:

(7.36)

где Δr - мера расхождения; χ ² - функция плотности распределения, вычисляе­мая из выражения

. (7.37)

Здесь k = l - число интерва­лов статистического ряда.

(7.38)

где r = к - 1 - число степеней свободы распределения.

По таблице 7.11 можно для каждого значения χ ² и числа степеней свободы r найти вероятность .

Если вероятность ≤ 0,1, то выбранное теоретическое распределение следует считать неудач­ным. В противном случае считают, что взятое теоретическое распределение согласуется с экспе­риментальным и может быть принято.

Схема применения критерия χ ² в оценке согласованности теорети­ческого и статистического распределений сводится к следующему:

- определяется χ ² по формуле (7.37);

- находится число степеней свободы r = к - 1;

- по r - числу степеней свободы распределения и χ ² с помощью таблицы 7.11 определяется вероят­ность ;

- если ≤ 0,1, гипотеза отбрасывается как неправдоподобная, при > 0,1 гипотезу можно признать не противоречащей опытным данным.

Таблица 7.11 - Квантили распределения χ2 для числа степеней свободы r и выбранной вероятности

r	Вероятность
0,990	0,95	0,8	0,3	0,2	0,1	0,05
	0,115	0,352	1,00	3,67	4,64	6,25	7 81
	0,297	0,711	1,65	4,88	5,99	7 78	9,49
	0,554	1,15	2,34	6,06	7,29	9,24	11,1
	0,872	1,64	3,07	7,23	8,56	10,6	12,6
	1,24	2,17	3,82	8,38	9,80	12,0	14,1
	1,65	2,73	4,59	9,52	11,0	13,4	15,5
	2,09	3,33	5,38	10,7	12,2	14,7	16,9
	2,56	3,94	6,18	11,8	13,4	16,0	18,3
	3,57	5,23	7,81	14,0	15,8	18,5	21,0
	5,23	7,26	10,3	17,3	19,3	22,3	25,0
	8,26	10,9	14,6	22,8	25,0	28,4	31,4
	22,2	26,5	32,3	44,2	47,3	51,8	55,8
	53,5	60,4	69,2	86,1	90,4	96,6	101,9
	70,1	77,9	87,9	106,9	111,7	118,5	124,3

Пример 7.3 [4].

По данным об отказах изделия во время эксплуатации получен вариационный ряд времени отказов t_i в часах: 1; 1,5; 2; 2,5; 4; 4,5; 5; 7; 8,5; 9; 9,5; 10; 10,5; 11; 14; 16; 17; 18; 18,5; 19; 20; 21; 24; 28; 32; 34; 35; 38; 39; 43; 44,5; 45; 48; 49; 50; 52; 53; 60; 65; 70; 71; 74; 82; 92; 93; 96; 99; 102; 103; 104; 108; 112; 116; 117; 120; 121; 122; 123; 126; 138; 145; 150; 154; 159; 165; 169; 177; 189; 205; 243; 249; 255; 267; 289; 292; 306; 331; 337; 366; 386. Необходимо проверить согласие данных эксплуатации с гипотезой об экспоненциальном распределении, используя критерий χ ² Пирсона.

Решение:

1. Используя вариационный ряд времени отказов, построим статистический ряд с интервалом Δt_i = 50 ч: (таблица 7.12, первая и вторая строки).

2. Находим по исходным данным задачи с помощью формулы (3.22) статистическую оценку средней наработки до отказа Т _1стат

ч.

Таблица 7.12 - Исходные данные и промежуточные вычисления к примеру

N 0стр.	Δtί, ч	0 - 50	50 - 100	100 - 150	150 - 200	200 - 250	250 - 300	300 -350	350 -∞
	nί стат
	Рί	0,4	0,23	0,15	0,09	0,05	0,03	0,02	0,03
	nРί		18,4		7,2		2,4	1,6	2,4
	(nί стат - nРί)2		42,5		1,44	1,0	2,56	1,96	0,16
	(nί стат - nРί)2 / nРί	0,28	2,31	0,75	0,2	0,25	1,06	1,25	0,07

3. Строим (рисунок 7.5) теоретическую интегральную функцию распределения времени безотказной работы (зависимость вероятности отказа F (t) от времени t), используя формулу

F (t) = 1 - ехр(- t / Т _1стат) = 1- ехр(- t / 100).

4. По формуле (7.37) рассчитываем

. (7.37)

При этом величина частости Р_ί берется равной приращению теоретической интегральной функции распределения F (t) в i -ом интервале (см. рисунок 7.5). Последовательность расчёта отражена в строках 2…6 таблицы 7.12. В конечном счете, имеем

χ ² = 0,28 + 2,31 + 0,75 + 0,2 + 0,25 + 1,06 + 1,25 + 0,07 = 6,17.

По таблице 7.11 при χ ² = 6,17 и r = к – 1 = 8 – 1 = 7 находим вероятность Р (Î) ≈ 0,5. Так как Р (Î) > 0,1, то гипотезу об экспоненциальном распределении времени безотказной работы можно признать не противоречащей опытным данным.

Литература

1. Яншин А.А. Теоретические основы конструирования, технологии и надёжности ЭВА, - М.: Радио и связь, 1983.

2. Кофанов Ю.Н. Теоретические основы конструирования, технологии и надёжности радиоэлектронных средств. – М.: Радио и связь, 1991.

3. Давыдов П.С. Техническая диагностика радиоэлектронных устройств и систем. – М.: Радио и связь, 1988.

4. Леонов А.И., Дубровский Н.Ф. Основы технической эксплуатации бытовой РЭА. – М.: Легпромбытиздат, 1991.

5. Павленко К.И. Основы эксплуатации РЭО летательных аппаратов. –М.: Военное издательство, 1988.

6. Дубровский В.И. Эксплуатация средств навигации и управления воздушным движением. – М.: Воздушный транспорт, 1995.

7. Конструирование и производство радиоаппаратуры / Под ред. А.К. Майера. - Томск: изд. Томск. ун-та, 1984.

8. Сборник задач то теории надёжности. Под ред. А.М. Половко и И.М. Маликова. – М.: Сов. Радио, 1972.

9. Шор Я.Б., Кузьмин Ф.Н. Таблицы для анализа и контроля надёжности. – М.: Сов. Радио, 1968.

10. Серафинович Л.П. Статистическая обработка опытных данных. – Томск: изд. Томск. ун-та, 1980, изд. ТУСУР, 1999.

11. Барзилович Ю.Е., Мезенцев В.Б., Сивенков М.В. Надёжность авиационных систем. – М.: Транспорт, 1982.

12. Барзилович Е.Ю., Беляев Ю.К., Констанов В.А. Вопросы математической теории надёжности. - М.: Радио и связь, 1983.

13. ГОСТ 27.001-95. Система стандартов «Надёжность в технике». Основные положения.

14. ГОСТ 27.002-89. Надёжность в технике. Основные понятия. Термины и определения.

15. ГОСТ 27.003-90. Надёжность в технике. Состав и общие правила задания требований на надёжность.

16. ГОСТ 27.301-95. Надёжность в технике. Расчёт надёжности. Основные положения.

17. ГОСТ 27.410-87. Надёжность в технике. Методы и планы контрольных испытаний на надёжность.

18. ГОСТ 27.202-83. Надёжность в технике. Технологические методы оценки надёжности по параметрам качества продукции.

19. Серафинович Л.П. Расчёт надёжности и конструирование радиоэлектронной аппаратуры. – Томск: изд. Томск. ун-та, 1972.

20. Глудкин О.П. Методы и устройства испытаний РЭА и ЭВА. - М.: Высшая школа,1991.

21. Груничев А.С. и др. Испытания радиоэлектронной аппаратуры на надёжность. - М.: Советское радио, 1969.

22. Козлов Б.А., Ушаков И.А. Справочник по расчёту надёжности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики- М.: Сов. радио, 1975.

23. Левин Б.Р. Теория надёжности радиотехнических систем. - М.: Сов. радио, 1978.

24. Северцев Н.А. Надёжность сложных систем в эксплуатации и отработке.– М.: Высшая школа, 1989.

25. СТ СЭВ 1190-78. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим.

26. СТ СЭВ 3542-82. Прикладная статистика. Правила построения и применения вероятностных сеток.

27. Прогнозирование технического состояния авиационной техники. Под. ред. В.Г. Воробьёва и Ю.В. Козлова. - М.: Транспорт, 1977.

28. Диагностирование и прогнозирование технического состояния авиационного оборудования. Под. ред. И.М. Смирнова.- М.: Транспорт, 1984.

29. Неразрушающий контроль элементов и узлов радиоэлектронной аппаратуры. Под ред. Б.Е. Бердичевского. – М.: Сов. радио, 1976.

30. Алексеев В.П., Озёркин Д.В. Основы научных исследований и патентоведение. – Томск: ТУСУР, 2001.

31. Андерман Д.И., Воробьёв Б.А. Методы и средства испытаний РЭА. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 1986.

32. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). - М.: Наука, 1974.

33. Разевиг В.Д. Система схемотехнического моделирования MicroCap 6.- М.: Горячая линия - Телеком, 2001.

34. ГОСТ 27. 402-95. Надёжность в технике. Планы испытаний для контроля средней наработки до отказа (на отказ). Часть1. Экспоненциальное распределение.

35. ГОСТ 27.310-95. Надёжность в технике. Анализ видов, последствий и критичности отказов. Основные положения.

36. Прохоренко В.А., Смирнов А.Н. Прогнозирование качества систем. - Мн.: Наука и техника, 1976.

37. Быков М. Ф.И. др. Диагностика, прогнозирование, неразрушающий контроль и управление качеством ЭА. – Л.: СЗПИ, 1985.

 

Приложение А. Справочные данные для расчёта надёжности РЭС в курсовых и дипломных проектах

Таблица ПА.1 - Поправочные коэффициенты а ₁ для расчёта интенсивностей отказов электрорадиоэлементов по формуле λ _J = а ₁ × λ _JН (4.10), в зависимости от температуры t среды, окружающей элемент, и коэффициента нагрузки k _н [1]

Наименование, тип элемента	Коэффициент нагрузки k н
t, °С	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
Транзисторы кремниевые		0,16 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20	0,18 0,19 0, 20 0,21 0,22 0,23	0,20 0,22 0,23 0,24 0,26 0,27	0,35 0,37 0,40 0,45 0,50 0,56	0,43 0,46 0,51 0,55 0,61 0,70	0,52 0,55 0,59 0,65 0,71 0,81	0,63 0,67 0,72 0,78 0,85 0,97
Транзисторы германиевые		0,23 0,27 0,32 0,42 0,52 0,63	0,26 0,32 0,40 0,50 0,63 0,80	0,35 0,45 0,53 0,68 0,86 1,11	0,42 0,52 0,66 0,84 1,10 1,40	0,50 0,65 0,81 1,08 1,38 1,73	0,70 0,83 1,04 1,31 1,65 2,05	0,74 0,95 1,22 1,50 1,90 2,35
Диоды кремниевые		0,77 0,85 0,92 0,98 1,04	0,78 0,85 0,92 1,00 1,08	0,79 0,86 0,94 1,02 1,11	0,81 0,88 0,97 1,05 1,16	0,83 0,90 1,00 1,09 1,22	0,85 0,92 1,04 1,13 1,30	0,88 0,97 1,08 1,19 1,39
Диоды германиевые		0,15 0,19 0,23 0,32 0,53	0,22 0,26 0,32 0,45 0,66	0,30 0,35 0,41 0,60 0,86	0,39 0,45 0,51 0,76 1,13	0,50 0,55 0,63 0,95 1,40	0,62 0,66 0,76 1,15 1,75	0,74 0,79 0,91 1,41 2,13
Конденсаторы слюдяные не-герметичные				0,08 0,09 0,10 0,12 0,15 0,22 0,38 0,57	0,11 0,13 0,15 0,20 0,26 0,43 0,82 1,36	0,22 0,28 0,36 0,45 0,60 0,92 1,70 3,00	0,27 0,35 0,46 0,62 0,83 1,46 2,40 3,40
Конденсаторы слюдяные герметичные				0,36 0,38 0,42 0,49 0,61 0,76 0,97 1,30 1,70	0,49 0,50 0,54 0,63 0,75 0,96 1,40 2,80 4,50	0,18 0,22 0,28 0,36 0,45 0,60 0,92 1,70 3,00	0,23 0,27 0,35 0,46 0,62 0,83 1,46 2,40 3,40

Продолжение таблицы ПА.1.

Наименование, тип элемента	Коэффициент нагрузки k н
t, °С	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
Конденсаторы стеклянные, пленочные, металлобумажные				0,36 0,38 0,42 0,49 0,61 0,76 0,97 1,30 1,70	0,49 0,50 0,54 0,63 0,75 0,96 1,40 2,80 4,50	0,64 0,70 0,80 0,95 1,19 1,58 2,10 2,70 3,50	0,80 0,94 1,10 1,43 2,00 2,30 2,80 3,80 5,00
Конденсаторы электролитические с алюминиевым анодом				0,48 0,60 0,90 1,40 2,10 3,60 5,60 8,00 11,4	0,40 0,48 0,64 1,17 1,80 2,90 4,40 6,50 9,00	0,48 0,60 0,90 1,40 2,10 3,60 5,60 8,00 11,4	0,82 1,24 1,73 2,30 4,30 0,65 7,00 11,0 18,0
Конденсаторы электролитические с танталовым анодом				0,20 0,22 0,30 0,40 0,50 0,65 0,80 1,00 1,25	0,20 0,22 0,30 0,40 0,50 0,65 0,80 1,00 1,25	0,20 0,22 0,30 0,40 0,50 0,65 0,80 1,00 1,25	0,39 0,41 0,47 0,57 0,70 0,86 1,05 1,30 1,65
Резисторы непроволочные		0,20 0,27 0,33 0,40 0,47 0,54 0,61 0,70	0,26 0,34 0,42 0,50 0,57 0,64 0,71 0,79	0,43 0,51 0,59 0,67 0,75 0,84 0,92	0,42 0,51 0,60 0,71 0,82 0,94 1,07 1,20	0,50 0,62 0,76 0,92 1,08 1,26 1,46 1,66	0,60 0,75 0,94 1,17 1,43 1,72 2,05 2,40	0,72 0,88 1,11 1,38 1,70 2,04 2,48 2,99	0,84 1,07 1,38 1,76 2,17 2,69 3,31 4,04	1,00 1,26 1,71 2,22 2,81 3,52 4,40 5,40
Резисторы проволочные		0,02 0,06 0,11 0,16 0,18	0,02 0,06 0,11 0,17 0,20	0,05 0,11 0,18 0,24 0,30	0,10 0,19 0,32 0,43 0,52	0,20 0,32 0,51 0,73 0,96	0,34 0,53 0,79 1,07 1,33	0,51 0,69 1,04 1,50 2,00	0,73 0,92 1,43 2,26 3,15	1,00 1,29 2,18 3,65 5,00
Моточные изделия, трансформаторы, обмотки электрических машин			0,10 0,10 0,10 0,20 0,20 0,30	0,10 0,10 0,20 0,20 0,30 0,40	0,10 0,20 0,20 0,30 0,40 0,60	0,20 0,30 0,50 0,80 1,20 2,00	0,30 0,60 1,20 1,80 2,50 4,20	0,60 1,00 1,80 2,80 4,10 7,20	0,801,40 2,40 4,00 6,40 10,7	1,00 1,60 3,00 5,20 8,60 14,0

 

Таблица ПА.2 - Средние, максимальные и минимальные значения интенсивностей отказов электрорадиоэлементов [1]

Наименование элемента	Интенсивность отказов λ, (среднее значение) / (максимальное - минимальное), 10-6 ч-1
Интегральные микросхемы
Гибридные полупроводниковые	0,075 / (0,1—0,05) 0,02 / (0,03—0,01)
Транзисторы кремниевые
маломощные (до 150 мВт) высокочастотные (менее 1 Вт) средней мощности (менее 4 Вт) в ключевом режиме субминиатюрные двойные микроволновые	0,84 / (1,44—0,45) 0,50 / (1,67—0,16) 0,74 / (0,84—0,21) 0,70 / (0,848—0,25) 2,6 / (4,31—0,87) 9,66
Диоды
Кремниевые Кремниевые карбидные Субминиатюрные двойные	0,2 / (0,452—0,021) 0,1 / (0,55—0,002) 0,85 / (1,7—0,26)
Конденсаторы
Керамические керамические переменные стеклянные танталовые пластиковые нейлоновые электролитические	0,15 / (1,64—0,042) 0,02 / (0,351—0,012) 0,06 / (0,87—0,0005) 0,6 / (1,934—0,108) 0,135 / (0,178—0,003) 0,01 / (0,014—0,006) 0,035 / (0,513—0,003)
Резисторы
композиционные 0,25 Вт композиционные 0,5 Вт композиционные 2 Вт композиционные переменные металлопленочные пленочные прецизионные потенциометры проволочные прецизионные нелинейные	0,016 0,06 0,071 0,053 / (0,533—0,007) 0,2 / (0,4—0,004) 0,004 0,26 / (0,5—0,02) 0,073 / (0,114—0,032) 0,11 / (0,153—0,047)
Дроссели
низкочастотные высокочастотные катушки индуктивности	0,175 2,1 0,02 / (1,018—0,001)
Трансформаторы
Входные выходные высокочастотные импульсные питания разделительные регулировочные	1,09 / (2,08—0,12) 0,09 0,045 / (0,062—0,019) 0,17 / (0,285—0,03) 0,025 / (0,052—0,012) 0,03 / (0,093—0,011) 0,1 / (0,31—0,035)

Продолжение таблицы ПА.2.

Наименование элемента	Интенсивность отказов λ, (среднее значение) / (максимальное - минимальное), 10-6 ч-1
Электродвигатели
асинхронные синхронные постоянного тока сельсины умформеры	8,6 / (11,2—4,49) 0,359 / (6,20—0,159) 9,36 0,35 / (0,61—0,09) 3,8 / (8,86—1,15)
Электровакуумные приборы
тиратроны маломощные тиратроны мощные тиратроны субминиатюрные стабилизатор напряжения (типа СГ2П) лампы неоновые лампы накаливания ЭТЛ с магнитным отклонением ЭТЛ с электрическим отклонением	6,0 / (15,0—2,5) 5,0 / (11,3—3,0) 1,7 / (4,41—0,28) 1,0 / (2,5—0,4) 0,1 / (1,52—0,019) 0,64 / (1,18—0,1) 1,65 / (3,1—0,94) 1,02/ (2,0—0,96)
Коммутационные элементы и соединители
переходные колодки зажимы выключатели магнитные выключатели термические провода соединительные кабели предохранители плавкие изоляторы изолирующие шайбы, прокладки соединение пайкой тумблеры выключатели быстродействующие гнезда соединители штепсельные соединители с контрольным гнездом контакторы реле малогабаритные переключатели кнопочные переключатели блокировочные переключатели миниатюрные	5,2 / (12,3—0,8) 0,0005 0,358 0,3 / (0,5—0,028) 0,015 / (0,12—0,008) 0,475 / (2,2—0,002) 0,5 / (0,82—0,30) 0,05 / (1,54—0,03) 0,001 0,01 (0,06/К) / [(1,123/К)—(0,015/К)]* (0,4/К) / [(2,1/К)—(0,09/К)]* (0,01/Ш) / [0,02/Ш—002/Ш]* 0,062/Ш * 0,0004/Ш* 0,25/КГ* 0,25/КГ* 0,07/КГ * 0,5/КГ* 0,25/КГ*

Примечание. Справочные данные для расчёта надёжности РЭС, приведённые в этой таблице, предназначены для использования в учебном процессе, например, в курсовых и дипломных проектах. В этих случаях в расчётах следует использовать средние значения интенсивностей отказов электрорадиоэлементов. Для ответственных инженерных расчётов надёжности значения интенсивностей отказов электрорадиоэлементов конкретного типа следует брать из специальной справочной литературы.

Значения интенсивностей отказа, помеченные значком * приведены соответственно на один контакт (К), штырёк (Ш), контактную группу (КГ).

Справочные данные для расчёта надёжности электрорадиоэлементов, опубликованные в различных источниках иногда отличаются от приведённых в этом приложении [8, 19]. Эти отличия обусловлены двумя причинами: во-первых, тем, что, из-за высокого уровня надёжности электрорадиоэлементов, для определения интенсивностей отказов приходится использовать ускоренные испытания с относительно большой погрешностью определения показателей надёжности, а, во вторых, тем, что при использовании с каждым годом всё более прогрессивных технологий изготовления электрорадиоэлементов интенсивность отказов электрорадиоэлементов уменьшается.