Классы смежности по нормальной подгруппе и факторгруппа

Предложение 1. Пусть - нормальная подгруппа группы и -какой-либо элемент . Тогда .

Доказательство. По определению нормальной подгруппы . Тогда и . Поэтому и, следовательно, .

Предложение 2. Если - нормальная подгруппа группы и , то .

Доказательство. Согласно предыдущему предложению . Умножив это равенство слева на , получим требуемое равенство.

Предложение 3. Классы смежности по нормальной подгруппе образуют группу относительно умножения подмножеств группы. Единицей этой группы является сама подгруппа.

Доказательство. Пусть - группа и - ее нормальная подгруппа. Рассмотрим произведение двух классов смежности и . Воспользуемся ассоциативностью умножения подмножеств и предложением 2. Имеем: , т. е. произведение двух классов смежности оказалось классом смежности. Далее, и , так что есть единица при этом умножении. Осталось рассмотреть наличие обратного элемента: и . Следовательно, есть обратный элемент для .

Определение. Группа, образованная классами смежности группы по нормальной подгруппе называется факторгруппой по и обозначается .

Определение факторгруппы можно сформулировать в терминах сравнения. Назовем два элемента и сравнимыми по нормальной подгруппе , если или, что то же самое, , т. е. и принадлежат одному классу смежности по . Тогда, если и , то , так как , и при , т. е. .Поэтому, если определить произведение классов как класс, содержащий произведение каких-либо представителей этих классов, определение будет корректным. Оно совпадает с определением произведения классов смежности как элементов факторгруппы.