Полный гармонический анализ стержня на упругом основании

Дополним этот короткий аналитический экскурс в теорию устойчивости многомодовым линейным гармоническим анализом шарнирно опертого стержня, который взаимодействует (или не взаимодействует) с упругим основанием. Упругое основание действует поперек оси стержня и может быть реализовано как пружинящая подложка, на которой горизонтально лежит стержень. Упругое основание можно представлять себе как большое число упругих пружин, сопротивляющихся поперечным перемещениям .

Линеаризованное выражение для энергии, которое требуется в теории колебаний с малой амплитудой и для анализа устойчивости упругого стержня, следует из приведенных выше формул. Энергия деформации изгиба есть

,

потенциальная энергия мертвой осевой сжимающей нагрузки есть

,

а энергию деформации простого упругого основания, на котором находится стержень, можно записать в виде

,

где – жесткость основания. Итак, общая потенциальная энергия может быть записана в форме

.

Кинетическая энергия дается равенством

.

Уравнение колебания стержня имеет вид

.

Можно показать, что в случае дискретной модели уравнение для малых колебаний стержня имеет вид

.

И для диагональных коэффициентов энергии имеем

.

Поэтому угловая частота для -й моды дается равенством

.

Величины суть собственные частоты колебаний шарнирно опертого упругого стержня с массой на единицу длины и изгибной жесткостью , покоящегося на упругом основании жесткости и несущего осевую сжимающую нагрузку . Если положить равными нулю (или, что эквивалентно, равными нулю), то получатся критические нагрузки потери устойчивости системы

.

Критические нагрузки для шарнирно опертого стержня, не взаимодействующего с основанием, соответствуют нулевому значению

.

Наименьшая из этих критических нагрузок есть

.

Видно, что для стержня на основании с жесткостью первая гармоника () не всегда соответствует наименьшей нагрузке потери устойчивости, как показано на рисунке. По оси ординат отложена приведенная нагрузка , а по оси абцис приведенная жесткость .

Рисунок 1.41 - Критические нагрузки для стержня на упругом основании в зависимости от меры жесткости основания

 

Если положить жесткость основания и изгибную жесткость равными нулю () и написать , то получим формулу для собственной частоты колебаний струны, растягиваемой усилием :

.