Математические модели надежности комплексов программ

 

Математические модели позволяют оценивать характеристики ошибок в программах и прогнозировать их надежность при создании и эксплуатации. Модели имеют вероятностный характер, и достоверность прогнозов зависит от точности исходных данных и глубины прогнозирования по времени. Эти математические модели предназначены для оценки:

- показателей надежности комплексов программ в процессе отладки;

- количества ошибок, оставшихся невыявленными;

- времени, необходимого для обнаружения следующей ошибки в функционирующей программе;

- времени, необходимого для выявления всех ошибок с заданной вероятностью.

Использование моделей позволяет эффективно проводить отладку и испытания комплексов программ, помогает принять рациональное решение о времени прекращения отладочных работ.

В настоящее время используется множество различных математических моделей, основными из которых являются:

1) экспоненциальная модель изменения ошибок в зависимости от времени отладки;

2) модель, учитывающая дискретно - понижающуюся частоту появления ошибок как линейную функцию времени тестирования и испытаний;

3) модель, базирующаяся на распределении Вейбула;

4) модель, основанная на дискретном гипергеометрическом распределении.

При обосновании математических моделей выдвигаются некоторые гипотезы о характере проявления ошибок в комплексе программ.

Наиболее обоснованными представляются предположения, на которых базируется первая экспоненциальная модель изменения ошибок в процессе отладки и которые заключаются в следующем:

1) любые ошибки в программе являются независимыми и проявляются в случайные моменты времени;

2) время работы между ошибками определяется средним временем выполнения команды на данного аппаратного средства и средним числом команд, исполняемым между ошибками. Это означает, что интенсивность проявления ошибок при реальном функционировании программы зависит от среднего быстродействия аппаратного средства;

3) выбор отладочных тестов должен быть представительным и случайным, с тем чтобы исключить концентрацию необнаруженных ошибок для некоторых реальных условий функционирования программы;

4) ошибка, являющаяся причиной искажения результатов, фиксируется и исправляется после завершения тестирования либо вообще не обнаруживается.

Из этих свойств следует, что при нормальных условиях эксплуатации количество ошибок, проявляющихся в некотором интервале времени, распределено по закону Пуассона. В результате длительность непрерывной работы между искажениями распределена экспоненциально.

Предположим, что в начале отладки комплекса программ при в нем содержалось ошибок. После отладки в течении времени осталось ошибок и устранено ошибок (). При этом время соответствует длительности исполнения программ на вычислительной системе (ВС) для обнаружения ошибок и не учитывает простои машины, необходимые для анализа результатов и проведения корректировок.

Интенсивность обнаружения ошибок в программе и абсолютное количество устранённых ошибок связываются уравнением

, (3.11)

где – коэффициент пропорциональности.

Если предположить, что в начале отладки при отсутствуют обнаруженные ошибки, то решение уравнения (3.11) имеет вид

,

а количество оставшихся ошибок в комплексе программ

,

и пропорционально интенсивности обнаружения с точностью до коэффициента .

Среднее время безотказной работы программ до отказа или наработка на отказ, который рассматривается как обнаруживаемое искажение программ, данных или вычислительного процесса, нарушающее работоспособность, равно величине, обратной интенсивности обнаружения отказов (ошибок)

.

Если учесть, что до начала тестирования в комплексе программ содержалось ошибок и этому соответствовала наработка на отказ , то функцию наработки на отказ от длительности проверок можно представить в следующем виде

.

Если известны моменты обнаружения ошибок и каждый раз в эти моменты обнаруживается и достоверно устраняется одна ошибка, то, используя метод максимального правдоподобия, можно получить уравнение для определения значения начального числа ошибок :

,

а также выражение для расчета коэффициента пропорциональности

.

В результате можно рассчитать число оставшихся в программе ошибок и среднюю наработку на отказ, т.е. получить оценку времени до обнаружения следующей ошибки.

Если в процессе отладки и испытаний программ для повышения наработки на отказ от значения до необходимо обнаружить и устранить ошибок, то величина определяется соотношением

.

Выражение для определения затрат времени на проведение отладки, которые позволяют устранить ошибок и соответственно повысить наработку на отказ от значения от до , имеет вид:

.

Вторая модель построена на основе гипотезы о том, что частота проявления ошибок (интенсивность отказов) линейно зависит от времени испытания между моментами обнаружения последовательных и ошибок.

 

,

где - начальное количество ошибок;

– коэффициент пропорциональности, обеспечивающий равенство единице площади под кривой вероятности обнаружения ошибок.

Для оценки наработки на отказ получается выражение, соответствующее распределению Релея:

,

где .

Отсюда плотность распределения времени наработки на отказ

.

Использовав функцию максимального правдоподобия, получим оценку для общего количества ошибок и коэффициента

;

 

.

 

Особенностью третьей модели является учет ступенчатого характера изменения надёжности при устранении очередной ошибки. В качестве основной функции рассматривается распределение времени наработки на отказ. Если ошибки не устраняются, то интенсивность отказов является постоянной, что приводит к экспоненциальной модели для распределения:

;

.

Для аппроксимации изменения интенсивности от времени при обнаружении и устранении ошибок используется функция следующего вида

.

Если , то интенсивность отказов снижается по мере отладки или в процессе эксплуатации. При таком виде функции плотность функции распределения наработки на отказ описывается двухпараметрическим распределением Вейбулла, которое достаточно хорошо отражает реальные зависимости при расчете функции наработки на отказ:

.