Проверка гипотезы однородности статистического материала

В математической статистике используется несколько критериев однородности [8]: критерий знаков, Вилкоксона, Пирсона, Ван-дер-Вардена, Смирнова. Первые четыре критерия менее трудоемки, но при этом имеют меньшую чувствительность (мощность). Ограничимся рассмотрением критерия Вилкоксона. [3]

Критерий Вилкоксона служит для проверки однородности двух независимых выборок: x₁, х₂,..., х_п и у₁, y_2, …, y_n. Достоинство этого критерия состоит в том, что он применим к случайным величинам, распределения которых неизвестны; требуется лишь, чтобы величины были непрерывными.

Если выборки однородны, то считают, что они извлечены из одной и той же генеральной совокупности и, следовательно, имеют одинаковые» причем неизвестные, непрерывные функции распределения F₁(х) и F₂(х).Таким образом, нулевая гипотеза состоит в том, что при всех значениях аргумента (обозначим его через х) функции распределения равны между собой:

F₁(х)=F₂(х).

. Конкурирующими являются следующие гипотезы:

F₁(х)=F₂(х),F₁(х)>F₂(х). и F₁(х) <F₂(х).

Заметим, что принятие конкурирующей гипотезы

Н₁: F₁(х) <F₂(х)означает, что X > У.

Действительно, неравенство F₁(х)<F₂(х) равносильно неравенству Р (X < х) < Р (У < х). Отсюда легко получить, что Р (X > х) > Р (У > x). Другими словами, вероятность того, что случайная величина X превзойдет фиксированное действительное число х, больше, чем вероятность случайной величине У оказаться большей, чем х; в этом смысле X > У.

Аналогично, если справедлива конкурирующая гипотеза H₁: F₁(х)> F₂(х), то X < У.

Далее предполагается, что объем первой выборки меньше (не больше) объема второй: n₁ n₂ если это не так, то выборки можно перенумеровать (поменять местами).

А. Проверка нулевой гипотезы в случае, если объем обеих выборок не превосходит 25.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости α = 2Q проверить нулевую гипотезу Н₀: F₁(х)= F₂(х) об однородности двух независимых выборок объемов n₁ и n₂(n₁ n₂) при конкурирующей гипотезе Н₁: F₁(х) F₂(х), надо:

1)расположить варианты обеих выборок в возрастающем порядке, т. е. в виде одного вариационного ряда, и найти в этом ряду наблюдаемое значение критерия W_набл. ‑ сумму порядковых номеров вариант первой выборки;

2)найти по таблице приложения 3 нижнюю критическую точку w _{нижн.кр}(Q; n_1, n₂), где Q =α/2;

3)найти верхнюю критическую точку по формуле

W _{верхн.кр}=(n₁ + n₂+ 1) n₁ ‑ w _{нижн.кр}.

Если W _набл.< w _{нижн.кр}или W _набл.> w _{верхн.кр}—нулевую гипотезу отвергают.

Если w _нижн.к< W _набл. < w _{верхн.кр -}нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Пример решения задачи к разделу 3.4.1. [3 ]

(для случая, если объем обеих выборок не превосходит 25)

Пример 1. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об однородности двух выборок объемов n₁ =6 и n₂ = 8:

x_i 15 23 25 26 28 29

y_i 12 14 18 20 22 24 27 30

при конкурирующей гипотезе Н₁: F₁(х) F₂(х)

Решение. Расположим варианты обеих выборок в виде одного вариационного ряда и перенумеруем их:

порядковые номера 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

варианты… 12 14 15 18 20 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Найдем наблюдаемое значение критерия Вилкоксона — сумму порядковых номеров первой вариант первой выборки:

W_набл.= 3+7+9 +10+12 +13 = 54.

Найдем по таблице приложения 3 нижнюю критическую точку, учитывая, что Q= α/2 = 0,05/2 = 0,025, n₁ =6, n₂ =8

W _{нижн.кр}(0,025; 6, 8) = 29.

Найдем верхнюю критическую точку:

W _{верхн.кр}= (n₁+ n₂+1) n₁ - w _{верхн.кр}= (6 + 8+1)٠6 – 29 = 61.

Так как 29 < 54 < 61, т. е w _{нижн.кр}< W_набл.< w _{верхн.кр}— нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу об однородности выборок.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе F₁(х) > F₂ (х) надо найти по таблице нижнюю критическую точку w _{нижн.кр}(Q; n_1, n₂), где Q =α.

Если W_набл.> w _{нижн.кр}—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если W_набл.< w _{нижн.кр}—нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н₁: F₁(х)<F₂(x) надо найти верхнюю критическую точку: w _{верхн..кр}(Q; n_1, n₂)= (n₁ + n₂+ 1) n₁ ‑ w _{нижн.кр}(Q; n_1, n₂), где Q =α

Если W_набл.< w_{верхн.кр} ‑ нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если W_набл.> w_{нижн.кр} ‑ нулевую гипотезу отвергают.

Замечание. Если несколько вариант только одной выборки одинаковы, то в общем вариационном ряду им приписывают обычные порядковые номера (совпавшие варианты нумеруют так, как если бы они были различными числами); если же совпадают варианты разных выборок, то всем им присваивают один и тот же порядковый номер, равный среднему арифметическому порядковых номеров, которые имели бы эти варианты до совпадения.