Поиск наиболее чувствительных заданных параметров к изменению внешних воздействий

По существу здесь хочется найти скорость изменения каждого заданного параметра при изменении любого внешнего воздействия. Говоря языком математики, требуется найти ,i = 1,2,3,....n, j = 1,2,3,...k. естественно, при условии фиксации всех других внешних воздействий.

Формально математически эту задачу можно решать следующим образом. Вводим следующие обозначения векторов: u (U₁, U₂, U₃,...U_r, U_r+1,....U_n) - вектор с компонентами в виде искомых функций модели ХТС, причем первые r из них - заданные параметры. v (X₁, X₂, X₃,....X_k) - вектор внешних воздействий на ХТС, т.е. аргументов задачи. Естественно, что компоненты U_i = U_i(X₁, X₂, X₃,....X_k) = U_i(v). Далее, каждое уравнение в модели ХТС обозначим как F_i(u, v) = 0, i = 1, 2, 3,.... n. Следовательно, F_i(.....) сложная функция от v, так как она зависит еще и от u (v). Вектор F (F₁, F₂, F₃,....F_n) = 0 или F (u, v) = 0, собственно, и представляет собой векторную и предельно компактную запись модели ХТС.

Заметим, что, если какое-то уравнение модели имеет свободный член, то просто перенесем его в левую часть уравнения, чтобы справа всегда был 0.

Дадим приращение всем аргументам dX_j (j = 1, 2, 3,...k) и найдем приращение каждой F_i(u (v), v) = 0 (i = 1, 2, 3,...n).

Обращаем внимание, что в круглых скобках имеем n + 1 слагаемое. Далее рассчитаем численные значения при номинальных (проектных) значениях всех переменных модели.

Так как dX_j являются взаимно независимыми приращениями (X_j - аргумент), то равенство dF_i = 0 может быть только в случае равенства содержимого всех круглых скобок нулю. Тогда

Эту систему уравнений можно записать в матричной форме.

Заметим, что при всех i = 1, 2, 3,....n прямоугольная матрица одна и та же. Поэтому для всех i получаем матричное уравнение:

Или в компактной форме записи , i, j = 1, 2, 3,..n, m = 1, 2, 3,... k. Обращаем внимание, что матрица - квадратная, размером n ´ n, а матрицы и - прямоугольные, размером n ´ k. Полученное матричное уравнение решается, если существует обратная матрица , и решение тогда имеет вид:

, i,j = 1, 2, 3,... n; m = 1, 2, 3,...k.

Причем первые r строк в искомой матрице и дадут зависимость скорости изменения заданных параметров от каждого внешнего воздействия в окрестности номинальных (проектных) значений всех переменных u и v. Казалось бы, все просто: делай по предлагаемому рецепту все расчеты и получай ответы.

Практическая реализация этого плана показала следующее. При взгляде на эту матрицу с высоты, обнаруживаем, что получили полупустую матрицу (очень много нулей в каждой строке), а математики доказывают плохую обусловленность задачи обращения такой матрицы. Иными словами, точность расчета элементов матрицы очень малая и трудно предсказуемая. Итак, использование аппарата матричного исчисления, при всей его красоте, строгости приводит к огромным трудозатратам, а главное, к низкому качеству результата.

В такой отчаянной ситуации на помощь приходит спасительная мысль, что в нашем распоряжении находится отлаженная программа расчета каждого заданного параметра при любом комплекте (наборе) внешних воздействий. Суть идеи в том, что можно рассчитывать, просто пользуясь определением понятия частной производной ∂U_i/∂X_j

Сначала приходится решить чисто методический вопрос. Действительно, хотим получить оценку частной производной i-го заданного параметра по j-му внешнему воздействию, а потом сравнить их, т.е. производные, по величине друг с другом, выясняя какое внешнее воздействие наиболее влиятельно. На самом деле мы работаем с физическими величинами, поэтому оценки величин ∂U_i/∂X_j будут иметь разные наименования, разные качества, т.е. разные размерности, а по сему сравнивать их нельзя, т.к. для разнородных по размерности физических величин не существует операции алгебраического сложения. Можно сравнивать величины или одинаковой размерности или отвлеченные числа. Для получения последних предлагаем всю модель ХТС обезразмерить на характерные масштабы всех переменных, а в качестве таковых у нас нет ничего, кроме номинальных значений всех переменных (и искомых функций и внешних воздействий).

Вводим новые безразмерные переменные модели ХТС:

.

Здесь величины с крышечкой наверху - безразмерные переменные, U_i* - номинальное значение i-го заданного параметра (см. таблицу заданных параметров), X_j* - номинальное значение j-го внешнего воздействия (см. таблицу внешних воздействий). Тогда будем искать оценку частной производной следующим образом:

Иными словами, величину частной производной будем оценивать отношением приращения i-го заданного параметра к приращению j-го внешнего воздействия. Причем, первое слагаемое в числителе будем рассчитывать по готовой программе расчета заданного параметра при известном комплекте внешних воздействий.

Сразу возникает вопрос, каким по величине брать приращение аргумента DX_j? Ясно, что надо брать что-то малое, но по сравнению с чем? Здесь поступим также как при определении “нуля” задачи в алгоритме расчета заданных параметров. Там за “ноль” задачи приняли величину , где dU_i – разрешенный диапазон отклонения i-го заданного параметра (см. таблицу заданных параметров). И здесь поступим так же: DX_j будем считать малым, если , где dX_j – отклонение j-го внешнего воздействия от номинала (см. таблицу внешних воздействий).

Подчеркнем, что величину DX_j берем всегда положительной, чтобы по оценке частной производной узнать ее знак и, следовательно, тенденцию изменения самого заданного параметра (увеличивается или уменьшается). Одновременно, вспомним, что, если приращение функции в числителе по модулю окажется меньше , то оценку частной производной следует принять нулевой.

Рассмотрим погрешность такого способа расчета скорости изменения заданного параметра в окрестности номинальных значений всех переменных. Прежде всего, вспомним, что будем пользоваться готовым алгоритмом расчета заданных параметров, который обеспечивает абсолютную погрешность, равную (см. таблицу заданных параметров). Отсюда

Первое слагаемое содержит отношение истинного приращения (которого мы не знаем и которое хотим оценить предлагаемым способом) к выбранному нами малому приращению аргумента. Второе – содержит абсолютную систематическую ошибку, причем систематика заключается в нашем понимании “малости” изменения функции на величину и аргумента . Итак, абсолютная погрешность D_ij равна:

Здесь в числителе стоит относительная длина разрешенного диапазона i-го заданного параметра, в знаменателе – относительная амплитуда колебаний j-го внешнего воздействия. Следовательно, чем меньше разрешенный диапазон i-го заданного параметра δU_i и чем больше амплитуда j-го внешнего воздействия δX_j, тем точнее наша оценка скорости изменения заданного параметра, но и тем меньше вероятность работоспособности ХТС и ее частей. Одновременно, чем больше номинальное значение i-го заданного параметра U_i* и чем меньше номинальное значение j-го внешнего воздействия X_j*, тем точнее оценка.

Итак, в матричной форме можно записать:

Здесь все матрицы прямоугольные размером k ´ r (напомним: k – число внешних воздействий, r – число заданных параметров). На печать следует выдать правую матрицу и матрицу ошибок.

Пример. Рассматривается линия производства керамзитового песка из природной глины в двухзонной печи псевдоожиженного слоя мощностью 50 тыс. м³/год. Один из заданных параметров – температура в зоне обжига печи Т_* = 1000⁰С, и технологи требуют, чтобы температура в печи колебалась с амплитудой не более ± 50⁰С. Если в зоне обжига температура станет больше 1050⁰С, то наступает аварийное состояние: весь слой спекается в один монолит (операторы говорят: козла сварили). Если в зоне обжига температура будет меньше 950⁰С, то установка будет выдавать брак (операторы говорят: пошел тяжелый песок, а технологи – “керамлит”).

В качестве внешнего воздействия на рассматриваемую ХТС возьмем расход глиняной крошки в печь. Номинальное значение расхода 3000 кг/час. В линии предусмотрен ящичный питатель с погрешностью 10%, т.е. амплитуда колебания внешнего воздействия составляет ± 300 кг / час.

Тогда абсолютная погрешность расчета скорости изменения температуры в зоне обжига из-за изменения расхода сырья и сама оценка скорости равны:

, .

В этом примере оценка величины на порядок больше абсолютной погрешности (т.е. относительная ошибка 10%). Кстати, рассматриваемая технология в этом примере имеет вероятность работоспособности равную 0,22, т.е. это технология с очень низким качеством разработки. У этой технологии мал разрешенный диапазон отклонения заданного параметра и велика амплитуда отклонения внешнего воздействия, а потому мала величина вероятности работоспособности и, одновременно, хорошая точность расчета скорости изменения заданного параметра.

Получилась на редкость благоприятная ситуация: если вероятность работоспособности какой-то ХТС велика (> 0,9), то для нее и не надо искать оценки скоростей изменения заданных параметров; если же ХТС “плохая”, то абсолютная погрешность оценки скорости изменения заданного параметра не велика. Повезло!

Замечание. Каждую строку матрицы можно рассматривать как вектор градиента заданного параметра в некотором пространстве внешних воздействий:

.

Соответственно, можно указать направление максимального роста функции U_i и одновременно антинаправление максимального убывания этой функции. Величина модуля этого вектора тоже очень показательна для анализа работоспособности ХТС: . Иными словами, это скалярное произведение показывает, как изменяется вектор приращений заданных параметров при изменении вектора внешних воздействий, и величина

является таким коэффициентом трансформации одного вектора в другой.

Если , то получаем, что ХТС является сжимающим оператором, в противном случае - расширяющим: колебания внешних воздействий приводят к усилению отклонений вектора заданных параметров от номинала.

Далее, из компонентов векторов градиентов заданных параметров образуем прямоугольную матрицу размером r∙k (на практике число заданных параметров r меньше числа внешних воздействий k). Рассчитаем определители всех миноров размером r∙r. Величина этих определителей позволяет выявить те внешние воздействия, которые совместно наиболее сильно изменяют длину вектора заданных параметров. Кроме того, если все определители указанных миноров по модулю < 1, то это означает, что увеличение длины вектора внешних воздействий приводит к уменьшению длины вектора заданных параметров. Это обстоятельство говорит о том, что сама ХТС и ее модель является сжимающим оператором. Иными словами, модель ХТС, формально являясь таким оператором, может или усиливать внешние воздействия или ослаблять.

Прикладной смысл линейного преобразования множества внешних воздействий во множество заданных параметров состоит в том, что одновременно находятся и самые влиятельные внешние воздействия и самые чувствительные к ним заданные параметры. Разработчики АСУ ХТС и члены пусковых бригад получают четкие исходные данные для работы.