Лабораторна робота 2

Надійний інтервал. Перевірка статистичних гіпотез

Мета роботи:

навчитися застосовувати розрахунки надійного інтервалу випадкових величин з метою аналізу відповідності ознак друкованих та мультимедійних видань їхнім нормативам;

набути досвіду перевірки статистичних гіпотез стосовно рівня якості технологічних процесів у сфері поліграфії та мультимедіа.

Навчальний матеріал

1. Приклади законів розподілу деяких випадкових величин

Рівномірний розподіл. Рівномірний розподіл ймовірності є простим і може бути як дискретним, так і неперервним.

Дискретний рівномірний розподіл – це такий розподіл, для якого усі значення випадкової величини є рівноймовірними:

де k – кількість можливих значень випадкової величини.

Розподіл вірогідності неперервної випадкової величини Х, яка приймає значення з відрізку [а, b], називається рівномірним, якщо щільність розподілу випадкової величини на цьому відрізку є постійною, а поза ним дорівнює нулю (рис. 4-5):

(8)

Рис. 4. Графік функції F(x) рівномірного розподілу

Рис. 5. Графік функції f(x) рівномірного розподілу

Для рівномірного розподілу випадкової величини Х математичне сподівання є серединою відрізку [а; b]:

,	(9)
.	(10)

Нормальний розподіл. Нормальним називається розподіл ймовірності неперервної випадкової величини, який описується щільністю ймовірності

(11)

де:

m – математичне сподівання випадкової величини,

– середньоквадратичне відхилення випадкової величини.

Нормальний закон розподілу займає центральне місце в теорії ймовірності і математичній статистиці. Це обумовлено тим, що нормальний закон проявляється у всіх випадках, коли випадкова величина є результатом дії великого числа різних чинників. Наприклад, помилки вимірювань розподілені за нормальним законом.

На практиці багато випадкових величин розподілені нормально або майже нормально: помилки стрільби; відхилення напруги в мережі від номіналу; сумарна виплата страхового товариства за довгостроковий період; дальність польоту снаряду; зріст чоловіків (жінок) одного віку і національності, й тому подібне (рис 6).

Рис. 6. Графік щільності розподілу випадкової величини, розподіленої за нормальним законом

Для випадкових величин, які розподілені за нормальним законом, діє правило трьох сигм.

Правило трьох сигм: якщо випадкова величина розподілена за нормальним законом, то ймовірність її відхилення від свого математичного сподівання на величину більше ніж 3 , (де – середньоквадратичне відхилення випадкової величини), близька до нуля (точніше, дорівнює 0,0027). Іншими словами, практично достовірно, що нормальна випадкова величина приймає значення з інтервалу [m-3 , m+3 ] (ймовірність цього дорівнює 0,9973).

2. Надійний інтервал випадкової величини

Надійний інтервал D випадкової величини з рівнем довіри (надійністю) g – це інтервал, який з ймовірністю g покриває всі вибіркові значення випадкової величини. Тобто всі вибіркові значення випадкової величини з ймовірністю g потрапляють в діапазон , де – вибіркове середнє (рис. 7).

Інтервал D для випадкової величини, яка має нормальний розподіл, визначається за формулою:

D = s · z,

(12)

де:

s – середнє квадратичне відхилення;

z – аргумент функції Лапласа, який визначається за допомогою відповідної таблиці для функції Лапласа Ф(z): вибирається таке z, для якого виконується умова: Ф(z) = g/2, де g – надійна ймовірність.

Таблицю зі значеннями функції Лапласа подано у Додатку А.

Якщо не відоме середнє квадратичне відхилення σ, то у формулі розрахунку використовується виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення s та коефіцієнт Стьюдента t:

D = s · t,

(13)

де:

t – коефіцієнт Стьюдента, який вибирається з відповідної таблиці залежно від значення надійної ймовірності g і кількості ступенів свободи (кількість ступенів свободи дорівнює n –1).

Таблицю зі значеннями коефіцієнту t розподілу Стьюдента подано у Додатку Б.

Зауважимо, що при розрахунках надійного інтервалу для малої вибірки (при n<30) також використовується коефіцієнт Стьюдента t (а не аргумент функції Лапласа).

Рис. 7. Приклади надійних інтервалів із різними значеннями надійної ймовірності

Надійний інтервал D_м математичного сподівання випадкової величини – це інтервал, який з великою ймовірністю містить значення математичного сподівання випадкової величини.

Надійна вірогідність g_м – це ступінь упевненості в тому, що довірчий інтервал міститиме дійсне (невідоме) значення математичного сподівання генеральної сукупності.

Величина надійного інтервалу D_м залежить як від надійної ймовірності g_м, так і від об'єму вибірки n:

D_м=

(14)

Приклад 1. Б уло здійснено вибірку 1600 осіб із сукупності усіх передплатників журналу «Видавничий бізнес». Середній вік за вибіркою – 30 років, середньоквадратичне відхилення – 10 років. Необхідно знайти надійний інтервал математичного сподівання.

Перш за все, необхідно задати надійну ймовірність оцінки. Візьмемо 95% надійність. Оскільки вибірка велика, скористаємося таблицею значень функції Лапласа (див. Додаток А) і знайдемо коефіцієнт довіри z=1,96. Тоді розрахуємо надійний інтервал D випадкової величини за формулою (11):

D= 1,96*10=19,6.

Залишилося розрахувати надійний інтервал математичного сподівання формулою (13):

D_м= =0,49.

З ймовірністю 95% істинний середній вік у генеральній сукупності знаходиться в інтервалі від 29,51 років до 30,49 років.

3. Перевірка статистичних гіпотез

Статистичною гіпотезою називають деяке твердження щодо значення (або значень) якого-небудь параметра випадкової величини. Наприклад, твердження M(Х)=5 (гіпотеза про те, що математичне сподівання дорівнює п'яти) або твердження D(Х)=D(Y) (гіпотеза про рівність двох дисперсій).

Під процедурою перевірки статистичних гіпотез розуміють послідовність дій, які дозволяють з тією або іншою мірою достовірності підтвердити або спростувати гіпотезу.

Формалізація статистичних гіпотез з математичної точки зору приводить до описання гіпотез двох видів:

Н₀ – нульова гіпотеза,

Н₁ – альтернативна гіпотеза.

Нульова гіпотеза (Н₀) формулюється як гіпотеза про відсутність відмінностей у вибірках, про схожість двох розподілів і тому подібне. Альтернативна гіпотеза (Н₁) протилежна за смислом і означає відмінність у вибірках, відмінність двох розподілів і тому подібне. Дві гіпотези утворюють повну групу несумісних подій: якщо приймається одна, то інша відхиляється.

Гіпотези перевіряються за допомогою статистичних критеріїв.

Статистичний критерій – це правило, яке дозволяє приймати істинну і відхиляти помилкову гіпотезу з високою ймовірністю. Математично критерій є формулою, результатом розрахунків за якою є деяке число. Критерій є випадковою величиною, розподіл якої залежить від числа ступенів свободи.

Для встановлення схожості-відмінності середніх арифметичних значень в двох вибірках (які вибираються з генеральних сукупностей, що мають нормальний розподіл) використовується t-критерий Стьюдента:

(15)

де: s² – виправлена вибіркова дисперсія,

n₁ – об’єм першої вибірки;

n₂ – об’єм другої вибірки.

Інший варіант формули:

(16)

де: s² – зміщена вибіркова дисперсія.

Розраховане за наведеними формулами емпіричне значення критерію Стьюдента зрівнюється з критичним значенням цього критерію. Критичне значення критерію Стьюдента вибирається з відповідної таблиці (див. Додаток Б) залежно від рівня значущості a (0,05; 0,01; 0,001) та кількості ступенів свободи f (f = n₁+ n₂ - 2).

Якщо емпіричне значення критерію Стьюдента не перевищує його критичного значення, то приймається нульова гіпотеза про відсутність статистично значимих відмінностей середніх арифметичних значень в двох вибірках. У протилежному випадку нульова гіпотеза відхиляється.

Для встановлення схожості-відмінності дисперсій в двох незалежних вибірках (які витягують з генеральних сукупностей, що мають нормальний розподіл) використовується критерій Фішера:

(17)

де: – більша дисперсія,

– менша дисперсія.

Розраховане за наведеною формулою емпіричне значення критерію Фішера зрівнюється з критичним значенням цього критерію. Критичне значення критерію Фішера вибирається з відповідної таблиці (див. Додаток В) залежно від рівня значимості a (0,05; 0,01; 0,001) і кількості ступенів свободи. Кількість ступенів свободи визначається окремо для чисельника та знаменника за формулами:

f₁= n₁- 1, f₂= n₂- 1,

(18)

де: n₁ – об’єм вибірки з більшою дисперсією,

n₂ – об’єм вибірки з меншою дисперсією.

Якщо емпіричне значення критерію Фішера не перевищує його критичного значення, то приймається нульова гіпотеза про відсутність статистично значимих відмінностей дисперсій в двох вибірках. У протилежному випадку нульова гіпотеза відхиляється.

Зауважимо що рівень значущості a характеризує ймовірність помилки відхилити істинну гіпотезу.

Приклад 2. У двох друкарських цехах були проведені заходи щодо підвищення якості продукції. У кожному цеху використовувалася своя методика підвищення якості. До проведення заходів в обох цехах мало місце однакове розсіювання (розкид) параметрів видання. Після проведення заходів в кожному цеху здійснені вибіркові дослідження формату видання, результати яких представлені в таблиці 4.

Визначити, чи дійсно методика, використана в 1 цеху, дала найбільше вирівнювання параметрів видань (взяти рівень значущості a=0,05).

Таблиця 4

Результати дослідження формату видання,

отримані в двох цехах

Показник	1 цех	2 цех
кількість перевірених екземплярів видання
вибіркова дисперсія	0,16 (мм)	0,36 (мм)

Для розв’язання цієї задачі розрахуємо емпіричне значення критерію Фішера:

F = = 0,36/0,16 = 2,25,

де: – дисперсія формату видання в 1 цеху,

– дисперсія формату видання в 2 цеху.

Кількість ступнів свободи:

f₁=20,

f₂=15.

Критичне значення критерію Фішера знайдемо по таблиці, наведеної в Додатку В (для a=0,05):

F_к= 2,203.

Оскільки F > F_к, то ми робимо висновок про наявність статистично значимих відмінностей дисперсій в 1 і 2 цеху. Отже, методика, використана в 1 цеху, оказала більший вплив на стабілізацію технологічного процесу.