Дополнительные погрешности при измерении внутренних размеров

 

Случайные погрешности измерений

Неизбежны при измерении и нет определенных закономерностей их проявления.

Случайные погрешности можно обнаружить только при многократных измерениях.

На практике случайные погрешности подчиняются закону нормального распределения: когда большинство результатов близки к номинальному размеру и лишь отдельные результаты существенно отличаются. Кривая, описывающая эти частоты, называется кривой нормального распределения, ее описывает математическое выражение:

- среднеквадратичное отклонение (СКО);

- независимая переменная величина;

- плотность вероятности

- среднее арифметическое значение (математическое ожидание случайной величины)

- основание натурального логарифма.

Нормальное распределение определяется двумя параметрами: и , зная их можно задать нормальное распределение:

;

1. Среднее – арифметическое ряда значений:

2. Дисперсия (рассеивание), на практике берут СКО Погрешность среднего арифметического значения единичного результата измерений:

3. Погрешность среднего арифметического значения или оценка среднеквадратического отклонения результата измерений:

- точечные оценки случайной погрешности

4. Результат измерений

- среднее квадратическое отклонение результата измерения

- i-ый результат наблюдения;

- среднее арифметическое исправленных результатов;

- число результатов наблюдений;

- оценка среднеквадратического отклонения результата измерения.

ВЫВОД: чтобы оценить случайную погрешность результатов измерений надо:

1. Получить как можно больше результатов измерений ;

2. Рассчитать среднее арифметическое ;

3. Рассчитать среднеквадратическое (СКО);

4. Рассчитать погрешность среднего арифметического ;

5. Вычисляем доверительные границы случайной погрешности:

, где t –коэффициент Стьюдента при P; n;

6. Вычисляем доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерений:

· , при ;

· , при ,

· где N – число погрешностей; к = 1,1 Р = 0,95

7. Оценка суммарной погрешности:

,

если в 3 и более раз, то

если в 3 и более раз, то , или:

· - то исключаем систематическую, т.е.

· - то исключаем случайную, т.е. ;

· - то учитываем обе.

ВЫВОД: погрешность любого результата состоит их систематических и случайных погрешностей, чтобы оценить систематические – нужно результат измерения сравнить с эталоном; чтобы оценить случайную – провести многократные измерения.

Обработка результатов прямых измерений

(ГОСТ 8,207-76) Прямые измерения с многократными наблюдениями

Методы обработки результатов наблюдения, т.е. найти истинное значение результата и погрешность: или когда нужно оценить погрешность прибора.

Порядок обработки:

(Имеем ряд результатов: )

I. Исключаем известные систематические погрешности из результатов наблюдений (лучше поправками).

II. Проверяем результаты наблюдений на наличие грубых выбросов, промахов:

1. Располагаем результаты по возрастанию с min по max: ;

2. Находим среднее арифметическое значение: ;

3. Находим среднеквадратическое отклонение: ;

4. Находим соотношение для проверяемого результата :

, если , то результат является анормальным и подлежит исключению.

III. Вычисляем СКО: ;

IV. Вычисляем погрешность среднего арифметического результата измерений:

.

V. Вычисляем доверительные границы случайно составляющей погрешности измерения – определяем коэффициент Стьюдента t при P: , , , .

VI. Вычисляем доверительные границы не исключенной систематической погрешности результата измерений: ; при .

VII. Оценка суммарной погрешности результата измерений, т.е. границ погрешности. Чтобы оценить полную, нужно найти соотношение между случайной и систематической погрешностями:

1. Если , то исключаем систематическую;

2. Если , то исключаем случайную;

3. Если то учитываем обе.

ИЛИ: Вычисляем абсолютную погрешность измерения . Если случайная погрешность сравнима с систематической , то ошибка измерения : ,

если , то ;

если , то .