Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Обмежимось випадком рівняннь 2-го порядку.

Загальний вигляд лінійного неоднорідного ДР 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами є такий

, (1)

де -числа. Якщо , то рівняння

(2)

називається лінійним однорідним ДР 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами

Теорема. Загальний розв’язок рівняння (1) визначається формулою

,

Тобто, загальний розв’язок неоднорідного рівняння (1) дорівнює сумі загального розв’язку однорідного рівняння (2) та деякого частинного розв’язку необнорідного рівняння (1)

3.1. Знаходження загального розв’язку ЛОДР (2)

Рівняню (2) ставится у відповідність алгебраічне рівняня

, (3)

яке називається характеристтичним рівнянням

1-випадок. корні (3) дійсні та різні

2-випадок. корні (3) співпадають

3-випадок. корні (3) комплексні , де

Приклад 1. Знайти загальний розв’язок ЛОДР. .

Розв’язуємо характеристтичне рівняння

, , , .