Лекции.Орг
 

Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника


Энергия, переносимая упругой волной; вектор Умова



Выделим в среде, в которой распространяется плоская продольная волна, элементарный объем ΔV, настолько малый, чтобы деформации и скорости движения во всех точках этого объема можно было считать одинаковыми и равными, соответственно,

Согласно формуле выделенный нами объем будет обладать потенциальной энергией упругой деформации

 

Где -относительное удлинение, а Е — модуль Юнга.

Заменим модуль Юнга Е через рv2 (р — плотность среды, v — фазовая скорость волны). Тогда выражение для потенциальной энергии объема ΔV примет вид

(1)

Рассматриваемый объем будет также обладать кинетической энергией

(2)

Выражения 1 и 2 в сумме дают полную энергию

Разделив энергию ΔЕ на объем ΔV, в котором она содержится, получим плотность энергии

(3)

Дифференцирование уравнения плоской волны

по t и х дает:

Подставив эти выражения в формулу (3), получим:

(4)

Как следует из (4), плотность энергии в каждый момент времени в разных точках пространства различна.

В одной и той же точке плотность энергии изменяется со временем по закону квадрата синуса. Поскольку среднее значение квадрата синуса равно половине, среднее (по времени) значение плотности энергии в каждой точке среды будет равно

Плотность энергии и ее среднее значение пропорциональны плотности среды р, квадрату частоты ω и квадрату амплитуды волны а. Подобная зависимость имеет место не только для плоской волны с постоянной амплитудой, но и для других видов волн.

Среда, в которой возникает волна', обладает дополнительным запасом энергии. Эта энергия доставляется от источника колебаний в различные точки среды самой волной, следовательно, волна переносит с собой энергию. Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии Ф через поверхность. Поток энергии— скалярная величина, размерность которой равна размерности энергии, деленной на размерность времени, т. е. совпадает с размерностью мощности. В соответствии

с этим Ф можно измерять в эрг/сек, ваттах и т. д.

Поток энергии в разных точках среды может обладать различной интенсивностью. Для характеристики течения энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, называемая плотностью потока энергии. Эта величина численно равна потоку энергии через единичную площадку, помещенную в данной точке перпендикулярно к направлению, в котором переносится энергия. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии.

Пусть, через площадку ΔS1, перпендикулярную к направлению распространения волны, переносится за время Δt энергия ΔE. Тогда плотность потока энергии j по определению равна

Подставив это выражение для ΔЕ получим

Вектор плотности потока энергии, был впервые введен в рассмотрение выдающимся русским

физиком Н, А, Умовым и называется вектором Умова.

Вектор, как и плотность энергии и, различен в разных точках пространства, а в данной точке пространства изменяется со временем по закону квадрата синуса. Среднее значение его равно

Зная j в некоторой точке пространства, можно найти поток энергии через помещенную в эту точку любым образом ориентированную малую площадку ΔS. Для этого спроектируем ΔS на плоскость, перпендикулярную к вектору j. Величина проекции ΔS1 будет равна

где а — угол, образованный нормалью ɑ к ΔS и вектором j. Вследствие малости ΔS можно считать, что через ΔS течет такой же поток, как и через ΔS1. Поток же через ΔS1 равен

Заменяя ΔS1 его значением, получаем:

Но j׳cosa есть не что иное, как величина составляющей вектора j по направлению нормали п к площадке ΔS:

Следовательно, можно написать, что

Поток энергии через малую площадку ΔS равен произведению нормальной составляющей вектора плотности потока энергии на ΔS.

Зная j в любой точке произвольной поверхности S, можно вычислить поток энергии Ф через эту поверхность. С этой целью разобьем поверхность на элементарные участки ΔS, столь малые, чтобы каждый из них можно было считать плоским, а вектор j в пределах каждого ΔS можно было считать постоянным как по величине, так и по направлению. Тогда элементарный поток ΔФ через каждый участок ΔS можно вычислить по формуле (82.12), беря для каждой ΔS свое значение jn, которое зависит от величины вектора j в том месте, где расположена площадка ΔS, и от ориентации этой площадки по отношению к j.

Полный поток через поверхность S будет равен сумме элементарных потоков:

Полученное нами выражение является приближенным. Чтобы получить точное значение Ф, нужно устремить все ΔS к нулю. При этом сумма перейдет в интеграл

который должен быть взят по всей поверхности S. Формула дает связь между плотностью потока энергии в различных точках поверхности и потоком энергии через эту поверхность.

Вычислим поток энергии через волновую поверхность сферической волны. Нормальная составляющая вектора плотности потока энергии во всех точках волновой поверхности одинакова и имеет среднее значение

r — амплитуда волны на расстоянии r от источника).

Вынося постоянное значение jn за знак интеграла, получим:

Если энергия волны не поглощается средой, средний поток энергии через сферу любого радиуса должен иметь одинаковое значение:

Отсюда следует, что амплитуда а,- сферической волны обратно пропорциональна расстоянию r от источника волны.

Амплитуда плоской волны может быть постоянной лишь при условии, что энергия волны не поглощается средой. В противном случае интенсивность волны с удалением от источника постепенно уменьшается — наблюдается затухание волны. Как показывает опыт, такое затухание происходит по экспоненциальиому закону. Это означает, что амплитуда волны убывает с расстоянием х по закону а = aoe-yx так что уравнение плоской волны имеет вид:

Величина у называется коэффициентом затухания волны (или коэффициентом поглощения волны). Она имеет размерность, обратную размерности длины. Легко сообразить, что величина, обратная y, равна расстоянию, на котором амплитуда волны уменьшается в с раз

Интенсивность волны убывает с расстоянием х по закону

Уравнение сферической волны, распространяющейся в поглощающей среде, имеет вид:





Дата добавления: 2015-05-07; просмотров: 140 | Нарушение авторских прав


© 2015-2017 lektsii.org.

Ген: 0.015 с.