Преобразование Фурье

Представим интеграл Фурье

в виде:

(1)

(2)

Функция F(), определенная формулой (1), называется косинусом-преобразованием Фурье для f(x).

Формула (2) задает обратное косинус – преобразование Фурье, позволяющее по F (a) находить f(x).

Аналогично, если f(x) – нечетная функция, то A(a) = 0, тогда формулы (3) и (4) задают соответственно прямое и обратное синус-преобразование Фурье

(3)

(4)

Если интеграл Фурье в комплексной форме представить в виде

(5)

то функция S(a) также называется спектральной и S (a) = 2p C (a).

Преобразованием Фурье называется функция определенная формулой (6)

(6)

а функция f(x), определенная формулой (7) называется обратным преобразованием Фурье

(7)

Преобразование Фурье отличается от спектральной функции только множителем

( также называется спектральной функцией).

Если функция f(x) – оригинал с показателем роста , то функция g(x), определенная формулой , где называется затухающим оригиналом. Тогда для функции g(x) существует и преобразование Фурье и преобразование Лапласа и они связаны между собой формулой

(8)